Hi! My name is Damir. I’m co-founder at IFAB.ru and i’m pretty good at these scary things

  • Startups
  • E-Commerce
  • Process development
  • Process implementation
  • Project management
  • Financial modeling
  • Business strategy

You can reach me out via these networks

Are you hiring? Check out my CV

My CV page

Задачи по эконометрике

Вариант 6.

 

Задание 1.

Имеются следующие данные о выработке литья на одного работающего Х1(т), браке литья Х2(%) и себестоимости 1 т литья Y(руб.) по 20 литейным цехам различных заводов:

 

i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x1i 44,1 16,4 44,5 83,9 76,8 42,3 80,3 32,5 63,2 67,5
x2i 5,9 7,5 8 1,3 8,6 6,6 3,5 6,3 3,4 7,5
yi 228,6 270,7 231,5 111,8 198,6 262,7 147,6 239,2 157,9 226,6

 

i

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
x1i 53,8 56,6 42,7 58,8 38,3 20,5 42,2 48,4 38,6 85
x2i 8,7 6 3,1 3,9 3,4 2,8 7,7 2,9 5,6 3,7
yi 213,8 222,6 143 177,2 178,5 230,5 223,9 187,4 213,3 119,7

 

Необходимо установить связь между себестоимостью литья и выработкой литья на одного работающего

  • без учёта производственного брака (найти уравнение парной регрессии Y по X1);
  • и с учётом производственного брака (найти уравнение множественной регрессии Y по X1 и X2);
  • оценить значимость полученных уравнений на уровне a = 0,05;
  • установить значимость коэффициента регрессии при X2 на уровне a = 0,05;
  • получить точечную оценку среднего значения себестоимости 1т литья в цехах, в которых выработка литья на одного работающего составляет 40 т, а брак литья составляет 5%.

 

 

Решение.

1) Определим характер связи между себестоимостью литья и выработкой литья на одного работающего без учёта производственного брака.

Построим диаграмму рассеяния:

 

Диаграмма рассеяния позволяет сформулировать гипотезу о наличии обратной линейной связи между двумя признаками.

 

Для расчета параметров а и b линейной регрессии  решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

  Y x1 Yx1 x12
1 228,6 44,1 10081,26 1944,81
2 270,7 16,4 4439,48 268,96
3 231,5 44,5 10301,75 1980,25
4 111,8 83,9 9380,02 7039,21
5 198,6 76,8 15252,48 5898,24
6 262,7 42,3 11112,21 1789,29
7 147,6 80,3 11852,28 6448,09
8 239,2 32,5 7774 1056,25
9 157,9 63,2 9979,28 3994,24
10 226,6 67,5 15295,5 4556,25
11 213,8 53,8 11502,44 2894,44
12 222,6 56,6 12599,16 3203,56
13 143 42,7 6106,1 1823,29
14 177,2 58,8 10419,36 3457,44
15 178,5 38,3 6836,55 1466,89
16 230,5 20,5 4725,25 420,25
17 223,9 42,2 9448,58 1780,84
18 187,4 48,4 9070,16 2342,56
19 213,3 38,6 8233,38 1489,96
20 119,7 85 10174,5 7225
Итого 3985,1 1036,4 194583,7 61079,82
Ср. знач. 199,255 51,82 9729,187 3053,991
Станд.откл. 45,00874 19,69982    
Дисперсия 2025,787 388,0827    

Уравнение регрессии: у = 283,056 – 1,617·x. С увеличением выработки литья одного рабочего на 1 т. себестоимость 1 т. литья снижается в среднем на 1,617  руб.

Определим линейный коэффициент парной корреляции:

 – связь сильная, обратная.

Коэффициент детерминации равен  или 50,1% – такая доля вариации себестоимости 1 т. литья объясняется за счет вариации выработки на 1 рабочего.

 

2) Предположим наличие линейной зависимости между себестоимостью литья и выработкой литья на одного работающего с учетом производственного брака.

Рассчитаем параметры уравнения множественной линейной регрессии, используя МНК.

При его применении строится система нормальных уравнений, решение которой и позволяет получить оценки параметров уравнения регрессии:

 

Расчетные показатели представим в таблице:

  Y x1 x2 Yx1 x12 Yx2 x22 x1x2 Yтеор (Y-Yтеор)2
1 228,6 44,1 5,9 10081,26 1944,81 1348,74 34,81 260,19 295,05 4415,69
2 270,7 16,4 7,5 4439,48 268,96 2030,25 56,25 123 362,44 8415,95
3 231,5 44,5 8 10301,75 1980,25 1852 64 356 324,06 8566,80
4 111,8 83,9 1,3 9380,02 7039,21 145,34 1,69 109,07 165,73 2908,84
5 198,6 76,8 8,6 15252,48 5898,24 1707,96 73,96 660,48 280,30 6674,16
6 262,7 42,3 6,6 11112,21 1789,29 1733,82 43,56 279,18 307,85 2038,15
7 147,6 80,3 3,5 11852,28 6448,09 516,6 12,25 281,05 202,62 3027,27
8 239,2 32,5 6,3 7774 1056,25 1506,96 39,69 204,75 319,46 6441,31
9 157,9 63,2 3,4 9979,28 3994,24 536,86 11,56 214,88 228,86 5035,57
10 226,6 67,5 7,5 15295,5 4556,25 1699,5 56,25 506,25 279,80 2830,49
11 213,8 53,8 8,7 11502,44 2894,44 1860,06 75,69 468,06 318,90 11046,42
12 222,6 56,6 6 12599,16 3203,56 1335,6 36 339,6 276,25 2878,15
13 143 42,7 3,1 6106,1 1823,29 443,3 9,61 132,37 257,78 13173,78
14 177,2 58,8 3,9 10419,36 3457,44 691,08 15,21 229,32 243,04 4334,58
15 178,5 38,3 3,4 6836,55 1466,89 606,9 11,56 130,22 269,13 8213,56
16 230,5 20,5 2,8 4725,25 420,25 645,4 7,84 57,4 289,44 3474,11
17 223,9 42,2 7,7 9448,58 1780,84 1724,03 59,29 324,94 323,54 9928,18
18 187,4 48,4 2,9 9070,16 2342,56 543,46 8,41 140,36 245,74 3403,00
19 213,3 38,6 5,6 8233,38 1489,96 1194,48 31,36 216,16 299,71 7466,48
20 119,7 85 3,7 10174,5 7225 442,89 13,69 314,5 197,84 6106,51
Итого 3985,1 1036,4 106,4 194583,7 61079,82 22565,23 662,68 5347,78 5487,53 120379,03
Ср. знач. 199,255 51,82 5,32 9729,187 3053,991 1128,262 33,134 267,389 274,38 6018,95
Станд.откл. 45,0087 19,69982 2,255193              
Дисперсия 2025,79 388,0827 5,085895              

 

Решая систему методом Гаусса, находим:

Получили уравнение множественной регрессии:

Y = 206,522 – 1,352 · х1 + 11,8 · х2

Коэффициент множественной корреляции равен

 – связь сильная

Коэффициент множественной детерминации равен 0,8371 или 83,71%, т.е. 83,71% вариации себестоимости 1 т литья объясняется за счет изменения выработки литья на одного работающего и брака литья.

 

3) оценим значимость полученных уравнений на уровне a = 0,05.

Уравнение парной линейной регрессии   у = 283,056 – 1,617·x:

Fтабл = 4,35 < Fфакт, при а = 0,05.

Следовательно, отклоняется гипотеза Н0 о статистически незначимых параметрах этого уравнения.

Уравнение множественной регрессии Y = 206,522 – 1,352 · х1 + 11,8 · х2

Fтабл = 4,41 < Fфакт, при а = 0,05.

Таким образом, отклоняется гипотеза Н0 о статистически незначимых параметрах этого уравнения.

4) установим значимость коэффициента регрессии при X2 на уровне a = 0,05:

Оценку статистической значимости параметра регрессии а2 прове­дем с помощью t-статистики Стьюдента.

Выдвигаем гипотезу H0 о статистически незначимом отличии показателя от нуля:

tтабл для числа степеней свободы и составит 2,101.

Определим случайную ошибку  :

,

где S2 – остаточная дисперсия на одну степень свободы,

Тогда .

Фактическое значение t-статистики ниже табличного значе­ния:

 

поэтому гипотеза H0 принимается, т.е. параметр а2 случайно отлича­ется от нуля и статистически незначим.

 

5) получим точечную оценку среднего значения себестоимости 1т литья в цехах, в которых выработка литья на одного работающего составляет 40 т, а брак литья составляет 5%:

Y = 206,522 – 1,352 · 40 + 11,8 · 5 = 206,522 – 54,08 + 59 = 211,442 (руб.)

 


 

Задание 2.

Имеются следующие данные о численности населения США в 1950-1985 гг. (млн. чел.)

 

Год 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958
yt 152,3 154,9 157,6 160,2 163,0 165,9 168,9 172,0 174,9
Год 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967
yt 177,8 180,7 183,7 186,5 189,2 191,9 194,3 196,6 198,7
Год 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976
yt 200,7 202,7 205,1 207,7 209,9 211,9 213,8 216,0 218,0
Год 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985
yt 220,2 222,6 225,1 227,7 230,0 232,3 234,8 237,0 239,3

 

Требуется обработать эти данные, выполнив следующие действия:

  • представить ряд графически;
  • подобрать подходящее уравнение тренда по методу наименьших квадратов или подходящую скользящую среднюю, если характер тренда неясен;
  • удалить трендовую составляющую из временного ряда и построить график остатков;
  • проанализировать поведение ряда остатков.

 

Решение.

1) Построим график динамического ряда. По оси Х откладываем годы, по оси Y – численность населения, млн. чел.:

 

График показывает увеличение численности населения США и позволяет предположить линейную форму тренда изучаемого показателя.

 

2) В данном случае для выражения основной тенденции мы применим метод аналитического выравнивания по прямой.

Для выравнивания ряда динамики по прямой используем уравнение .

Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров  и :

где у – исходный уровень ряда динамики;

n – число уровней ряда;

t – показатель времени, который обозначается порядковыми номерами, начиная от низшего.

Для того, чтобы упростить технику расчета, мы придадим показателям времени t такие значения, чтобы их сумма была равна нулю: . В нашей задаче число уровней ряда четное (n = 36), поэтому учет времени будет вестись полугодиями. При этом уравнения системы примут следующий вид:

 и ,

откуда  – представляет собой средний уровень ряда динамики ();

.

В результате получаем следующее уравнение основной тенденции изменения численности населения США в период с 1950 по 1985 г.:

, где t – порядковый номер полугодия.

 

 

3) Удалим трендовую составляющую из временного ряда и построим график остатков. Расчетные данные представим в таблице:

Год y t t2 ty Yтеор Y-Yтеор
1950 152,3 -35 1225 -5330,5 154,9512 -2,6512
1951 154,9 -33 1089 -5111,7 157,4046 -2,50462
1952 157,6 -31 961 -4885,6 159,858 -2,25805
1953 160,2 -29 841 -4645,8 162,3115 -2,11147
1954 163 -27 729 -4401 164,7649 -1,76489
1955 165,9 -25 625 -4147,5 167,2183 -1,31832
1956 168,9 -23 529 -3884,7 169,6717 -0,77174
1957 172 -21 441 -3612 172,1252 -0,12517
1958 174,9 -19 361 -3323,1 174,5786 0,321411
1959 177,8 -17 289 -3022,6 177,032 0,767988
1960 180,7 -15 225 -2710,5 179,4854 1,214565
1961 183,7 -13 169 -2388,1 181,9389 1,761141
1962 186,5 -11 121 -2051,5 184,3923 2,107718
1963 189,2 -9 81 -1702,8 186,8457 2,354294
1964 191,9 -7 49 -1343,3 189,2991 2,600871
1965 194,3 -5 25 -971,5 191,7526 2,547447
1966 196,6 -3 9 -589,8 194,206 2,394024
1967 198,7 -1 1 -198,7 196,6594 2,040601
1968 200,7 1 1 200,7 199,1128 1,587177
1969 202,7 3 9 608,1 201,5662 1,133754
1970 205,1 5 25 1025,5 204,0197 1,08033
1971 207,7 7 49 1453,9 206,4731 1,226907
1972 209,9 9 81 1889,1 208,9265 0,973483
1973 211,9 11 121 2330,9 211,3799 0,52006
1974 213,8 13 169 2779,4 213,8334 -0,03336
1975 216 15 225 3240 216,2868 -0,28679
1976 218 17 289 3706 218,7402 -0,74021
1977 220,2 19 361 4183,8 221,1936 -0,99363
1978 222,6 21 441 4674,6 223,6471 -1,04706
1979 225,1 23 529 5177,3 226,1005 -1,00048
1980 227,7 25 625 5692,5 228,5539 -0,8539
1981 230 27 729 6210 231,0073 -1,00733
1982 232,3 29 841 6736,7 233,4608 -1,16075
1983 234,8 31 961 7278,8 235,9142 -1,11417
1984 237 33 1089 7821 238,3676 -1,3676
1985 239,3 35 1225 8375,5 240,821 -1,52102
Итого 7123,9 0 15540 19063,1 7123,9 6,82E-13
Ср.знач. 197,8861 0 431,6667 529,5306 197,8861 1,89E-14
а0 197,8861          
а1 1,226712          

 

4) Диаграмма остатков позволяет предположить циклический характер отклонений от тренда.

Определим статистику Дарбина-Уотсона и коэффициент автокорреляции первого порядка. Для расчетов используем таблицу:

Год y Yтеор Y-Yтеор (ei) ei-1 eiei-1 ei2 ei-12 (ei-ei-1)2
1950 152,3 154,9512 -2,6512 0 0 7,028868 0 7,028868
1951 154,9 157,4046 -2,50462 -2,6512 6,640264 6,273145 7,028868 0,021485
1952 157,6 159,858 -2,25805 -2,50462 5,655563 5,098781 6,273145 0,0608
1953 160,2 162,3115 -2,11147 -2,25805 4,767804 4,458312 5,098781 0,021485
1954 163 164,7649 -1,76489 -2,11147 3,726525 3,114854 4,458312 0,120115
1955 165,9 167,2183 -1,31832 -1,76489 2,326693 1,737963 3,114854 0,199431
1956 168,9 169,6717 -0,77174 -1,31832 1,017401 0,595585 1,737963 0,298746
1957 172 172,1252 -0,12517 -0,77174 0,096595 0,015666 0,595585 0,418061
1958 174,9 174,5786 0,321411 -0,12517 -0,04023 0,103305 0,015666 0,199431
1959 177,8 177,032 0,767988 0,321411 0,24684 0,589806 0,103305 0,199431
1960 180,7 179,4854 1,214565 0,767988 0,932771 1,475167 0,589806 0,199431
1961 183,7 181,9389 1,761141 1,214565 2,13902 3,101618 1,475167 0,298746
1962 186,5 184,3923 2,107718 1,761141 3,711988 4,442474 3,101618 0,120115
1963 189,2 186,8457 2,354294 2,107718 4,962188 5,542702 4,442474 0,0608
1964 191,9 189,2991 2,600871 2,354294 6,123215 6,764529 5,542702 0,0608
1965 194,3 191,7526 2,547447 2,600871 6,625582 6,489488 6,764529 0,002854
1966 196,6 194,206 2,394024 2,547447 6,09865 5,731351 6,489488 0,023539
1967 198,7 196,6594 2,040601 2,394024 4,885247 4,164051 5,731351 0,124908
1968 200,7 199,1128 1,587177 2,040601 3,238795 2,519131 4,164051 0,205593
1969 202,7 201,5662 1,133754 1,587177 1,799468 1,285398 2,519131 0,205593
1970 205,1 204,0197 1,08033 1,133754 1,224829 1,167114 1,285398 0,002854
1971 207,7 206,4731 1,226907 1,08033 1,325465 1,505301 1,167114 0,021485
1972 209,9 208,9265 0,973483 1,226907 1,194374 0,94767 1,505301 0,064223
1973 211,9 211,3799 0,52006 0,973483 0,50627 0,270462 0,94767 0,205593
1974 213,8 213,8334 -0,03336 0,52006 -0,01735 0,001113 0,270462 0,306277
1975 216 216,2868 -0,28679 -0,03336 0,009568 0,082247 0,001113 0,064223
1976 218 218,7402 -0,74021 -0,28679 0,212283 0,547911 0,082247 0,205593
1977 220,2 221,1936 -0,99363 -0,74021 0,735498 0,987308 0,547911 0,064223
1978 222,6 223,6471 -1,04706 -0,99363 1,040391 1,096328 0,987308 0,002854
1979 225,1 226,1005 -1,00048 -1,04706 1,04756 1,000961 1,096328 0,002169
1980 227,7 228,5539 -0,8539 -1,00048 0,854314 0,729152 1,000961 0,021485
1981 230 231,0073 -1,00733 -0,8539 0,860161 1,014708 0,729152 0,023539
1982 232,3 233,4608 -1,16075 -1,00733 1,169256 1,347342 1,014708 0,023539
1983 234,8 235,9142 -1,11417 -1,16075 1,293279 1,241384 1,347342 0,002169
1984 237 238,3676 -1,3676 -1,11417 1,523742 1,870323 1,241384 0,064223
1985 239,3 240,821 -1,52102 -1,3676 2,080145 2,313505 1,870323 0,023539
Итого 7123,9 7123,9 6,82E-13 1,521021 80,01416 86,65502 84,34152 10,96822
Ср.знач. 197,8861 197,8861 1,89E-14          

 

Коэффициент автокорреляции равен

Статистика Дарбина-Уотсона:

Остатки являются автокоррелированными, т.е. гипотеза об их цикличности подтверждена статистически, и отклонение остатков от линии тренда имеет неслучайный характер.

 

Pin It on Pinterest

Яндекс.Метрика