Практикум по линейной алгебре: вычисление служит способом понять устройство матриц и линейных преобразований. В задачах отдельно приведены условие, решение, проверка и типичная ошибка.
Порядок подготовки
Начните с операций над матрицами и решения систем. Затем переходите к рангу, ядру и базису, ортогональным проекциям, собственным числам и разложениям. Геометрические задачи показывают, как те же формулы вычисляют расстояния и объёмы.
Учебный ориентир
Для дальнейшего изучения доступны программа и материалы MIT 18.06. Условия этого практикума и русские объяснения написаны отдельно; они не являются заданиями или ключами этого курса.
Задачи по темам
20 самостоятельных разборов: условие, решение, проверка и типичная ошибка.
Собственные числа и разложения — 5
- Диагонализация: формула для n-й степени верхней треугольной матрицы
- Жорданова клетка: почему повторное собственное число не гарантирует диагонализацию
- Положительно определённая форма: три способа проверить 2x²−2xy+2y²
- Сингулярное разложение матрицы ранга один: одно ненулевое сингулярное число
- Собственные числа симметричной матрицы: направления суммы и разности
Ранг, ядро и базис — 3
Матрицы и системы — 6
- Метод Гаусса: решение системы из трёх уравнений с проверкой невязки
- Обратная матрица 2×2: формула и проверка с обеих сторон
- Определитель и операции со строками: сведение матрицы к треугольной
- Совместность системы с параметром: одно, бесконечно много или ни одного решения
- Транспонирование произведения: почему (AB)ᵀ=BᵀAᵀ
- Умножение матриц: конкретный пример AB≠BA