Условие
Даны A с рядами (1,2), (0,1) и B с рядами (2,0), (1,3). Найдите AB и BA и сравните результаты.
Решение по шагам
Элемент произведения получается скалярным произведением строки первой матрицы и столбца второй. Для AB первый ряд равен (1·2+2·1, 1·0+2·3)=(4,6), второй — (1,3). Для BA ряды равны (2,4) и (1,5). Таким образом, AB≠BA.
Различие соответствует порядку действий: AB применяет сначала преобразование B, затем A; BA меняет их местами. Даже при квадратных матрицах одного размера порядок существенен.
Проверка результата
На векторе e₁=(1,0) произведения дают соответственно (4,1) и (2,1). Разные результаты на одном векторе уже доказывают неравенство преобразований.
Типичная ошибка
Поэлементное умножение не является матричным произведением. Коммутативность обычных чисел не переносится на матрицы.
Что даёт этот метод
Произведение AB определено, когда число столбцов A равно числу строк B. Ассоциативность сохраняется: (AB)C=A(BC), но переставлять множители обычно нельзя.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.