Условие
Для матрицы A с рядами (3,4), (6,8) найдите представление A=σuvᵀ с единичными u,v и σ>0.
Решение по шагам
Матрица равна внешнему произведению (1,2)ᵀ и (3,4). Длины этих векторов равны √5 и 5. Нормируем: u=(1,2)/√5, v=(3,4)/5. Масштаб переносим в σ=5√5.
Получаем A=5√5·uvᵀ. Это компактное сингулярное разложение. Ранг равен 1, поэтому второе сингулярное число квадратной матрицы равно нулю.
Проверка результата
Внешнее произведение воспроизводит все четыре элемента. Сумма квадратов элементов A равна 125, а σ²=125; нормы u,v равны 1.
Типичная ошибка
Сингулярные числа не совпадают в общем случае с собственными числами A. Их квадраты — собственные числа AᵀA.
Что даёт этот метод
Для внешнего произведения abᵀ ненулевое сингулярное число равно ‖a‖‖b‖. Такое представление даёт простейшую модель низкого ранга.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.