Условие
Для каких t система x+2y=3, 2x+4y=t имеет решения? Опишите все решения при допустимом t.
Решение по шагам
Левая часть второго уравнения вдвое больше первой. Вычитание удвоенного первого уравнения из второго даёт 0=t−6. Значит при t≠6 решений нет. При t=6 второе уравнение избыточно.
Выбираем y=s произвольно, тогда x=3−2s. Все решения имеют вид (3−2s,s), s∈ℝ. Единственного решения не возникает ни при каком t: ранг матрицы коэффициентов равен 1, а неизвестных две.
Проверка результата
При t=6 любая подстановка (3−2s,s) удовлетворяет обеим строкам. Для t=7 ранг расширенной матрицы равен 2, а ранг коэффициентов 1, что подтверждает несовместность.
Типичная ошибка
Зависимые левые части не означают автоматически наличие решений: правые части должны удовлетворять той же зависимости.
Что даёт этот метод
Критерий совместности сравнивает ранги A и [A|b]. При совместности число свободных параметров равно количеству неизвестных минус ранг.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.