Условие
Найдите расстояние от P=(1,2,3) до плоскости 2x−y+2z−4=0 и координаты основания перпендикуляра.
Решение по шагам
Нормаль n=(2,−1,2) имеет длину 3. Подстановка точки в левую часть уравнения даёт 2−2+6−4=2. Расстояние равно |2|/3=2/3.
Основание H ищем на прямой P−tn. Условие n·H=4 даёт t=(n·P−4)/(n·n)=2/9. Поэтому H=(5/9,20/9,23/9). Вектор P−H параллелен нормали.
Проверка результата
Подстановка H даёт 10/9−20/9+46/9=4. Длина P−H=(2/9)‖n‖=2/3, совпадая с формулой расстояния.
Типичная ошибка
В формуле основания делят на квадрат длины нормали, а в формуле расстояния — на длину. Знак влияет на направление смещения, но не на расстояние.
Что даёт этот метод
При умножении уравнения плоскости на ненулевое число расстояние сохраняется. Это полезная проверка правильности формулы.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.