Условие
В ℝ² выбран базис b₁=(1,1), b₂=(1,−1). Найдите координаты вектора v=(6,2) в этом базисе.
Решение по шагам
Ищем c₁,c₂ из равенства v=c₁b₁+c₂b₂. По координатам получаем c₁+c₂=6 и c₁−c₂=2. Сложение уравнений даёт 2c₁=8, то есть c₁=4, затем c₂=2.
Столбцы матрицы перехода P — именно базисные векторы. Она переводит новые координаты в старые: v=P[v]ᵦ. Обратное преобразование использует P⁻¹.
Проверка результата
4(1,1)+2(1,−1)=(6,2). Определитель P равен −2, поэтому выбранные векторы действительно образуют базис.
Типичная ошибка
Записать (6,2) без изменений как новые координаты нельзя: координаты зависят от базиса, хотя сам вектор остаётся тем же.
Что даёт этот метод
В задачах на переход базиса сначала определите направление преобразования. Правило «столбцы — образы базисных векторов» предотвращает путаницу.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.