Условие
Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы с рядами (2,1), (1,2).
Решение по шагам
Характеристический многочлен det(A−λI)=(2−λ)²−1=(λ−3)(λ−1). Собственные числа — 3 и 1. Для λ=3 уравнение даёт y=x, поэтому подходит (1,1). Для λ=1 получаем y=−x и вектор (1,−1).
Два направления ортогональны, как и должно быть для разных собственных чисел действительной симметричной матрицы. Нормированные векторы получаются делением на √2.
Проверка результата
Прямое умножение даёт A(1,1)=3(1,1), A(1,−1)=(1,−1). Сумма собственных чисел 4 равна следу, произведение 3 — определителю.
Типичная ошибка
Собственный вектор обязательно ненулевой. Он не единственен: любой ненулевой кратный задаёт то же направление.
Что даёт этот метод
Симметричную матрицу можно диагонализировать ортогональным базисом. Это превращает квадратичную форму в сумму квадратов с коэффициентами — собственными числами.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.