Условие
Найдите ранг и базис ядра матрицы с рядами (1,2,3) и (2,4,6).
Решение по шагам
Вторая строка вдвое больше первой, а первая ненулевая, поэтому ранг равен 1. Условие Av=0 сводится к x+2y+3z=0. Полагаем y=s, z=t и получаем x=−2s−3t.
Любой вектор ядра равен s(−2,1,0)+t(−3,0,1). Эти два вектора независимы: их вторые и третьи координаты отдельно задают коэффициенты. Значит они образуют базис ядра.
Проверка результата
Умножение A на каждый базисный вектор даёт ноль. Размерность ядра 2 и ранг 1 складываются в число столбцов 3.
Типичная ошибка
Число строк не равно рангу автоматически. Также недостаточно найти два вектора ядра: нужно доказать, что они независимы и порождают все решения.
Что даёт этот метод
Теорема о ранге и дефекте связывает число независимых ограничений с размерностью множества решений однородной системы.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.