Условие
Решите систему x+y+z=6, 2x−y+z=3, x+2y−z=2.
Решение по шагам
Вычтем первое уравнение из второго: x−2y=−3, значит x=2y−3. Вычтем первое из третьего: y−2z=−4, поэтому y=2z−4. Подставим в x: x=4z−11.
Первое уравнение теперь имеет вид (4z−11)+(2z−4)+z=6. Отсюда 7z=21, z=3, затем y=2 и x=1. Исключение позволило последовательно уменьшить число неизвестных.
Проверка результата
Подстановка: 1+2+3=6; 2−2+3=3; 1+4−3=2. Вектор невязки Av−b равен нулю. Ненулевой определитель коэффициентов подтверждает единственность.
Типичная ошибка
Нулевой остаток в одном уравнении не подтверждает решение всей системы. После исключения нужно выполнить обратную подстановку и проверить все исходные уравнения.
Что даёт этот метод
Метод Гаусса работает и для прямоугольных систем. В таком случае он выявляет свободные переменные либо противоречивую строку.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.