Условие
Докажите, что векторы (1,0,1), (0,1,1), (1,1,3) образуют базис ℝ³.
Решение по шагам
Пусть α(1,0,1)+β(0,1,1)+γ(1,1,3)=0. Первые две координаты дают α=−γ и β=−γ. Третья: α+β+3γ=0, поэтому γ=0, затем α=β=0. Векторы линейно независимы.
В трёхмерном пространстве три независимых вектора образуют базис: любой вектор имеет единственное разложение по ним. Матрица со столбцами этих векторов обратима.
Проверка результата
Определитель матрицы столбцов равен 1. Это независимый критерий полного ранга 3 и отсутствия ненулевого решения однородной системы.
Типичная ошибка
Разные векторы не обязательно независимы. Например, третий вектор (1,1,2) был бы суммой первых двух и дал бы зависимость.
Что даёт этот метод
Для k векторов в ℝⁿ проверяют ранг матрицы их столбцов. Базис получается при k=n и ранге n.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.