Условие
Рёбра параллелепипеда заданы векторами a=(1,0,0), b=(1,2,0), c=(0,1,3). Найдите объём.
Решение по шагам
Составим матрицу со столбцами a,b,c. Она верхняя треугольная с диагональю 1,2,3, поэтому определитель равен 6. Геометрический объём — модуль определителя: V=6.
Иной способ: a×b=(0,0,2), затем (a×b)·c=6. Знак смешанного произведения зависит от ориентации тройки, но объём всегда неотрицателен.
Проверка результата
Основание, натянутое на a,b, имеет площадь 2; высота по третьей координате c равна 3. Их произведение даёт 6.
Типичная ошибка
Произведение длин трёх рёбер верно только при попарной перпендикулярности. Здесь a и b не перпендикулярны.
Что даёт этот метод
Нулевой определитель означает, что рёбра лежат в одной плоскости и объём вырождается. Перестановка двух рёбер меняет ориентацию, но сохраняет объём.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.