Условие
Для A с рядами (1,2), (0,1) и B с рядами (2,0), (1,3) проверьте правило транспонирования произведения. Объясните изменение порядка.
Решение по шагам
Из произведения AB с рядами (4,6), (1,3) получаем (AB)ᵀ с рядами (4,1), (6,3). Матрица Bᵀ имеет ряды (2,1), (0,3), а Aᵀ — (1,0), (2,1). Их произведение BᵀAᵀ снова даёт (4,1), (6,3).
В общем случае элемент (AB)ᵀ в позиции i,j равен ΣₖAⱼₖBₖᵢ. Это тот же скалярный результат, что Σₖ(Bᵀ)ᵢₖ(Aᵀ)ₖⱼ, поэтому порядок обязан быть обратным.
Проверка результата
Сравнение всех четырёх элементов подтверждает равенство. Для ошибочного порядка AᵀBᵀ получаются ряды (2,1), (4,5), которые не совпадают.
Типичная ошибка
Правило (AB)ᵀ=AᵀBᵀ неверно. Кроме того, транспонирование прямоугольной матрицы меняет её размеры.
Что даёт этот метод
То же правило используется в нормальных уравнениях МНК и при проверке симметричности AᵀA: транспонирование меняет порядок дважды.
Дальше по теме
Линейная алгебра: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.