Z~N(0,I₅); для ортопроекции P_V: ||P_V Z||² ~ χ²_rank(V)
Две задачи об одной конструкции
Компоненты Z₁,…,Zₙ независимы и стандартно нормально распределены. Требуется найти проекции Z на указанные ниже подпространства, квадраты их длин и распределения. Дополнительно исследуем проекцию на единичный вектор v и ковариации её координат. Задачи 3.1 и 3.6 объединены; полный вывод редакционный.
Общая формула для прямой
Для единичного v проекция равна Ẑ = ⟨Z,v⟩v. Скаляр ⟨Z,v⟩ имеет распределение N(0,1), поскольку его дисперсия равна Σvᵢ² = 1. Поэтому квадрат длины проекции имеет распределение χ²₁.
Координаты Ẑᵢ = vᵢ⟨Z,v⟩ имеют ковариации Cov(Ẑᵢ,Ẑⱼ) = vᵢvⱼ, а вся ковариационная матрица равна vvᵀ. В исходном ответе 3.6 внутри скалярного произведения вместо v напечатано z; здесь обозначение приведено в соответствие с условием.
Пять подпространств
| Подпространство | Проекция и квадрат длины | Закон Q |
|---|---|---|
| Прямая через (1,…,1) | Ẑ = (Z̄,…,Z̄); Q = nZ̄² | χ²₁ |
| Прямая через e = (1,2,…,n) | Ẑ = e(ΣiZᵢ)/S; Q = (ΣiZᵢ)²/S, где S = Σi² | χ²₁ |
| Span((1,0,…,0),(0,1,…,1)) | Первая координата Z₁, остальные равны среднему Z₂,…,Zₙ; Q = Z₁² + (Σᵢ₌₂ⁿZᵢ)²/(n−1) | χ²₂ |
| Ортогональное дополнение к (1,…,1) | Ẑ = Z − Z̄·(1,…,1); Q = Σ(Zᵢ−Z̄)² | χ²ₙ₋₁ |
| Span(e₅,e₇,e₉) | Сохраняются только координаты 5,7,9; Q = Z₅²+Z₇²+Z₉² | χ²₃ |
Для третьего случая нужно n ≥ 2, для последнего — n ≥ 9. Во втором случае S = n(n+1)(2n+1)/6. Источник иллюстрирует эту формулу рисунком; здесь используется сама тождественная формула без воспроизведения изображения.
Почему число степеней свободы равно размерности
Выберем ортонормированный базис подпространства. Координаты стандартного нормального вектора в этих направлениях — независимые N(0,1). Квадрат длины проекции является суммой их квадратов, поэтому его χ²-распределение имеет число степеней свободы, равное размерности подпространства.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 3.1, 3.6 · CC0 1.0. Задачи объединены; решение дополнено.