Условие
Независимые X₁,…,Xₙ имеют распределение N(μ,4), где неизвестно μ, а дисперсия 4 известна. Найдите оценки μ методом моментов и максимального правдоподобия и дисперсию каждой оценки. Решения в источнике нет; ниже — редакционный разбор.
Первый момент
Теоретическое среднее X равно μ. Приравнивание его выборочному среднему сразу даёт μ̂MM=X̄.
Максимальное правдоподобие
Логарифм правдоподобия, если отбросить постоянные, равен −(1/8)Σ(Xᵢ−μ)². Максимизация равносильна минимизации суммы квадратов отклонений от μ.
Тождество Σ(Xᵢ−μ)²=Σ(Xᵢ−X̄)²+n(X̄−μ)² показывает, что единственный максимум достигается при μ̂ML=X̄. Оба метода дают одну и ту же статистику, а не две независимые оценки.
Точные характеристики
Сумма независимых нормальных величин нормальна, поэтому для любого n≥1:
X̄∼N(μ,4/n); E(X̄)=μ; Var(X̄)=4/n.
Стандартная ошибка равна 2/√n. Здесь дисперсию оценки не требуется восстанавливать по случайной выборочной дисперсии: параметр 4 задан в условии.
Информационная проверка
Вклад одного наблюдения в производную логарифма плотности по μ равен (X−μ)/4. Его дисперсия — 1/4, значит информация выборки равна n/4. Обратная величина 4/n совпадает с дисперсией X̄, достигающей границы Крамера — Рао в этой регулярной модели.
Что нельзя менять в условии
Если дисперсия тоже неизвестна, оценка среднего останется X̄, но оценка её точности станет отдельной задачей. Подстановка неизвестной дисперсии или использование t-распределения без изменения исходной модели здесь не требуется. Нормальное распределение оценки в этой задаче точное, а не только асимптотическое.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 5.5 · CC0 1.0. Условие источника; решение редакции.