Условие
В математической модели каждый независимый раунд меняет капитал на ±1. Начало 100, остановка при 0 или 200. Вероятность +1 равна 18/37 либо 18/38. Найдите вероятность верхней границы.
Решение по шагам
Пусть hᵢ — вероятность достичь 200 раньше 0 из i. Тогда hᵢ = phᵢ₊₁ + qhᵢ₋₁, h₀=0, h₂₀₀=1. Для p≠q общее решение даёт hᵢ = (rⁱ − 1)/(r²⁰⁰ − 1), где r=q/p.
При i=100 знаменатель раскладывается, и h₁₀₀ = 1/(r¹⁰⁰ + 1). Для p=18/37 r=19/18, результат ≈ 0.00446628. Для p=18/38 r=10/9, результат ≈ 0.00002656. Даже небольшое отрицательное среднее одного шага сильно меняет вероятность далёкого успеха.
В симметричном случае p=q=1/2 предельное решение hᵢ=i/200, поэтому из середины вероятность 1/2. Это учебная модель независимого блуждания с фиксированным шагом.
Проверка результата
Граничные значения 0 и 1 выполнены; подстановка в разностное уравнение подтверждает формулу. Для p<1/2 ответ из середины меньше 1/2.
Типичная ошибка
Приравнивать вероятность успеха к 1/2 только из-за одинакового расстояния до границ.
Что даёт этот метод
Вероятности достижения находят через условие по первому шагу и граничные значения.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи.
Следующие разборы
- Как перевод ученика может повысить средний балл обоих классов
- МГУ: майская контрольная по вероятности, полный разбор 2025
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев и участники, probability_dna, L1810. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC BY 4.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.