Условие
У Ивана Грозного n бояр. Каждый боярин берёт мзду независимо от других с вероятностью 1/2.
а) Какова вероятность того, что все бояре берут мзду, если случайно выбранный боярин берёт мзду?
б) Какова вероятность того, что все бояре берут мзду, если хотя бы один из бояр берёт мзду?
Решение источника
а) (1/2)n/(1/2) = 1/2n−1;
б) (1/2)n/(1 − (1/2)n) = 1/(2n − 1).
Редакционное объяснение
Обозначим A = «все бояре берут мзду», P(A) = (1/2)n. В обоих пунктах событие A содержится в условии: если берут все, то берёт и случайно выбранный, и хотя бы один. Поэтому P(A ∩ условие) = P(A), и по определению P(A | B) = P(A)/P(B).
а) Случайно выбранный боярин берёт мзду с вероятностью 1/2 — неважно, кого выбрали, все бояре одинаковы. Значит, P(A | B) = (1/2)n/(1/2) = 1/2n−1. Интуиция: про выбранного боярина всё известно, а остальные n − 1 бояр по-прежнему независимы и каждый берёт с вероятностью 1/2.
б) Хотя бы один берёт мзду с вероятностью 1 − (1/2)n: исключается только вариант «никто не берёт». Поэтому P(A | B) = (1/2)n/(1 − (1/2)n) = 1/(2n − 1). Здесь равновероятны все 2n − 1 непустых наборов взяточников, и «все» — лишь один из них.
Сравнение. При n = 10 получаем 1/512 ≈ 0,00195 и 1/1023 ≈ 0,00098: во втором случае ответ почти вдвое меньше. Сообщение «конкретный боярин берёт» содержит больше информации, чем «кто-то берёт»: оно указывает на определённого человека и сильнее сдвигает вероятности в сторону «берут многие». Это та же логика, что в известной задаче о двух детях: «старший ребёнок — мальчик» и «хотя бы один ребёнок — мальчик» дают разные условные вероятности того, что оба мальчики (1/2 и 1/3; это и есть наши ответы при n = 2).
Проверка: оба ответа подтверждены полным перебором всех 2n вариантов при n от 1 до 7. При n = 1 оба ответа равны 1, как и должно быть: если единственный боярин берёт, то берут все.
Что не следует из ответа
Ответ а) опирается на то, что боярина выбрали случайно и независимо от того, кто берёт мзду. Если же боярина «выбрали» потому, что его поймали на взятке, то есть искали именно взяточника, то условие фактически превращается в «хотя бы один берёт», и правильным становится ответ б).
Вероятность 1/2 и независимость — условия учебной модели. Если бояре берут мзду сговорившись, независимость нарушается, и обе формулы перестают работать.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача «Бояре и мзда» · Исходное задание и решение · CC BY 4.0. Адаптация: условие и ответы источника сохранены, вывод через определение условной вероятности, сравнение двух видов информации и проверка перебором добавлены редакцией.