Условие
Из каждого камня выходят три дороги. Каждая независимо безопасна с вероятностью 2/3. Найдите вероятность бесконечно идти по безопасным дорогам при случайном выборе и вероятность существования такого пути на полной карте.
Решение по шагам
Для заранее выбранного или случайно выбираемого пути вероятность пройти n дорог равна (2/3)ⁿ. Предел нулевой: бесконечный случайный путь почти наверное встретит опасность.
Карта позволяет выбирать среди ветвей. Число безопасных продолжений имеет Bin(3,2/3); это ветвящийся процесс. Вероятность исчезновения q — наименьший корень q=(1/3+2q/3)³ в [0,1]. Помимо корня 1 есть q=(−5+3√3)/4≈0,049038. Поэтому бесконечный безопасный путь существует с вероятностью (9−3√3)/4≈0,950962.
Выбирается наименьший корень, поскольку вероятности исчезновения к поколению n получаются итерацией от q₀=0 и возрастают к нему.
Проверка результата
Среднее число безопасных продолжений 2>1 допускает выживание. Корень подставляется в исходное кубическое уравнение.
Типичная ошибка
Путать вероятность успеха одного пути с вероятностью существования хотя бы одного среди бесконечного дерева.
Что даёт этот метод
Различайте случайный поиск и доступ к полной структуре вариантов.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: условное ожидание по событию и обратимому преобразованию
- ВШЭ, ПМИ: экзамен 28 марта 2025, полный разбор
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, msu_probability_spring_2025, HA2Q4. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.