Условие
Из 100 пар каждый из 365 дней независимо выбирают одну равномерно и возвращают. Найдите среднее число ни разу не выбранных и выбранных хотя бы дважды.
Решение по шагам
Для одной пары число выборов K~Bin(365,0,01). Вероятность K=0 равна 0,99³⁶⁵. Сумма индикаторов даёт Eниразу=100·0,99³⁶⁵≈2.551796.
Вероятность K=1 равна 365·0,01·0,99³⁶⁴. Поэтому Eне менее двух=100[1−0,99³⁶⁵−365·0,01·0,99³⁶⁴]≈88.040065. Выборы разных пар зависимы, но линейность ожидания не требует их независимости.
Проверка результата
Средние числа категорий 0, 1 и ≥2 суммируются в 100. Пара не может попасть в две категории одновременно.
Типичная ошибка
Считать равномерным распределение количества дней между парами или запрещать повторный выбор.
Что даёт этот метод
Переходите от числа объектов к вероятности свойства одного объекта.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- МГУ, вероятность: ожидание цветущих деревьев и соседних пар
- ВШЭ, ПМИ: контрольная «Альфа» 2024, все шесть задач
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, msu_probability_spring_2025, HA1Q5. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.