Условие
Первый мешок: 5 красных и 4 синих шара; второй: 3 красных и 10 синих. Случайно выбирают мешок, берут один шар, затем два из другого без возвращения. R — число красных, B — синих. Найдите распределение R, вероятность чётности, ER, E(2B+7), E(RB), P(R≥1,B≥1), E[R·I(B≥1)].
Решение по шагам
Условимся по первому мешку. Если из него взят красный шар, два следующих дают гипергеометрическое число красных: P(K=k)=C(r,k)C(b,2−k)/C(r+b,2). Если первый синий, сдвига числа красных нет. Каждую ветвь умножаем на 1/2 и складываем.
Распределение R: 0 — 5/26; 1 — 56/117; 2 — 67/234; 3 — 5/117. Так как B=3−R, получаем P(R чётно)=56/117, ER=46/39, E(2B+7)=415/39, E(RB)=179/117.
Оба цвета присутствуют только при R=1 или 2: вероятность 179/234. Индикатор B≥1 исключает случай R=3, поэтому E[R·I(B≥1)]=41/39.
Проверка результата
Вероятности суммируются в 1; ER+EB=3. Проверены все ветви выбора мешка и гипергеометрические вероятности.
Типичная ошибка
Считать три шара независимыми одинаково распределёнными: мешки имеют разный состав, два шара берутся без возвращения.
Что даёт этот метод
Условие по первой операции превращает сложный эксперимент в смесь простых распределений.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- МГУ, вероятность: первый орёл и информация о третьем броске
- ВШЭ, ПМИ: контрольная «Альфа» 2024, все шесть задач
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, msu_probability_spring_2025, HA1Q1. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.