Условие
В партии 12 деталей, из них 3 дефектные. Равновероятно выбирают набор из 4 различных деталей без возвращения. Найдите вероятность ровно одного дефекта.
Решение по шагам
Всего наборов C(12,4)=495. Подходящий набор содержит одну из трёх дефектных и три из девяти исправных: C(3,1)C(9,3)=252. Поэтому вероятность равна 252/495=28/55.
Выбор без возвращения меняет состав партии на каждом шаге, поэтому нельзя использовать биномиальную формулу с постоянной вероятностью 3/12. Подсчёт неупорядоченных наборов автоматически учитывает эту зависимость.
Проверка результата
Перебор всех 495 четырёхэлементных подмножеств даёт 252 подходящих. Сумма гипергеометрических вероятностей для 0,1,2,3 дефектов равна 1.
Типичная ошибка
Если выбирать детали с возвращением, модель и ответ изменятся. Также знаменатель должен считать тот же тип исходов, что и числитель: наборы либо последовательности.
Что даёт этот метод
Для выборки n без возвращения из N объектов с K отмеченными P(X=k)=C(K,k)C(N−K,n−k)/C(N,n).
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.