Условие
Жозеф Луи Франсуа Бертран подкидывает правильную монетку n раз. Пафнутий Львович Чебышёв подкидывает правильную монетку n+1 раз. Какова вероятность того, что у Чебышёва выпадет больше орлов, чем у Бертрана?
Решение источника
Пусть после n подбрасываний у каждого Чебышёв лидирует с вероятностью p. В силу симметрии Бертран лидирует с той же вероятностью, а равенство числа орлов имеет вероятность 1−2p. Тогда вероятность победы Чебышёва равна p+(1−2p)·1/2=1/2.
Редакционное объяснение
В рассуждении источника неявно используется, что последний, (n+1)-й бросок Чебышёва важен только при равенстве. Действительно, если после n бросков Чебышёв впереди хотя бы на один орёл, лишний бросок не может отнять у него лидерство. Если впереди Бертран, лишний бросок даёт Чебышёву максимум ничью, а ничья — не победа. При равенстве Чебышёв побеждает, если последний бросок — орёл, то есть с вероятностью 1/2. Итог: P=1/2 при любом n.
Второе доказательство — через решки. Пусть C — число орлов у Чебышёва, B — у Бертрана. Событие C>B, то есть C≥B+1, равносильно событию (n+1)−C≤n−B: у Чебышёва решек не больше, чем у Бертрана. Монета правильная, поэтому замена орлов на решки не меняет вероятностей, и P(C>B)=P(C≤B). Эти два события дополняют друг друга, значит, каждое имеет вероятность 1/2.
Ответ не тривиален: ничьи после n бросков у каждого вполне вероятны. Их вероятность равна C(2n, n)/4n≈1/√(πn), например ≈0,176 при n=10. Именно эту массу лишний бросок делит пополам.
Проверка: точный расчёт в рациональных числах по двум биномиальным распределениям для n=0, …, 12, 50 и 100 даёт ровно 1/2; моделирование 400 000 опытов при n=10 дало 0,5002.
Что не следует из ответа
Монета должна быть правильной: оба рассуждения используют симметрию орла и решки. Например, при вероятности орла 0,6 и n=5 вероятность того, что у Чебышёва больше орлов, ≈0,525.
Речь идёт о строгом неравенстве. Вероятность того, что у Чебышёва орлов не меньше, чем у Бертрана, больше 1/2 на вероятность итогового равенства: при n=10 это ≈0,5+0,168=0,668.
Ответ 1/2 не означает, что Бертран выигрывает с той же вероятностью. Строго больше орлов у Бертрана бывает с вероятностью 1/2 минус вероятность итогового равенства, при n=10 это ≈0,332; оставшиеся ≈0,168 приходятся на ничьи.
Борис Демешев и участники · probability_dna, задача «Бертран и Чебышёв подбрасывают монетку» · Исходное задание и решение · CC BY 4.0. Адаптация: сноска о букве «ё» опущена, пропущенный шаг решения обоснован, добавлены второе доказательство через решки, вероятность ничьей и точная проверка.