Условие
В восьми независимых испытаниях вероятность успеха каждый раз равна 1/4. Найдите вероятность ровно двух успехов.
Решение по шагам
Для одной конкретной последовательности с двумя успехами вероятность равна (1/4)²(3/4)⁶. Позиции двух успехов можно выбрать C(8,2)=28 способами. Последовательности несовместны, поэтому вероятности складываются: P=28(1/4)²(3/4)⁶=5103/16384≈0,31146.
Коэффициент сочетаний не является вероятностью: он считает количество последовательностей с одинаковой вероятностью.
Проверка результата
Перебор всех 256 двоичных последовательностей с их вероятностными весами подтверждает дробь. Сумма вероятностей для k=0,…,8 равна (1/4+3/4)⁸=1.
Типичная ошибка
Число испытаний, вероятность и независимость должны быть заданы. При изменении вероятности по испытаниям биномиальная модель обычно не подходит.
Что даёт этот метод
Биномиальное распределение описывает количество успехов при фиксированном n. Для времени ожидания успеха нужны другие распределения.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.