Условие
Xₖ~Bin(k,λ/k), λ>0, k≥λ. Найдите первые два момента, предел вероятности фиксированного j и MGF.
Решение по шагам
EXₖ=λ, Var Xₖ=λ(1−λ/k), поэтому EXₖ²=λ²+λ(1−λ/k)→λ²+λ. Для фиксированного j≥0 P(Xₖ=j)=C(k,j)(λ/k)ʲ(1−λ/k)ᵏ⁻ʲ→e⁻λ·λʲ/j!.
Сумма предельных вероятностей равна e⁻λΣλʲ/j!=1. MGF MXₖ(t)=[1+(λ/k)(eᵗ−1)]ᵏ→exp[λ(eᵗ−1)], что подтверждает предел Pois(λ). При фиксированной средней частоте редких успехов параметр биномиальной вероятности должен уменьшаться именно как 1/k.
Проверка результата
Предельные среднее и дисперсия равны λ, а второй момент λ²+λ. При j=0 предел e⁻λ совпадает с отсутствием событий.
Типичная ошибка
Сохранять вероятность одного успеха постоянной при росте k: это другой предел.
Что даёт этот метод
Проверяйте масштаб вероятности, нормировку предельной массы и моменты.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: min(U²,25): плотность вместе с атомом
- МГУ: полный разбор итогового варианта по вероятности, 2025
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA4Q2. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.