Условие
Xᵢ одинаково распределены и независимы, EXᵢ=μ≠0, Var Xᵢ=σ²<∞. Найдите пределы Σᵢ≤ₙXᵢ²/Σᵢ≤₂ₙXᵢ; несмещённой выборочной дисперсии; X̄ₙ/(X̄ₙ²+1).
Решение по шагам
Числитель первого отношения после деления на n сходится к EX²=μ²+σ², знаменатель после деления на n — к 2μ. Поэтому предел (μ²+σ²)/(2μ). Множитель 2 возникает из двух разных размеров сумм.
Выборочная дисперсия sₙ²=[ΣXᵢ²−nX̄ₙ²]/(n−1) сходится к EX²−μ²=σ². Непрерывная функция x/(x²+1) определена для всех x, поэтому третий предел μ/(μ²+1). Сходимость можно получить почти наверное из усиленного закона больших чисел, следовательно также по вероятности.
Проверка результата
Если Xᵢ постоянно μ, первое отношение равно μ/2, дисперсия ноль, третий результат точный. Все формулы это воспроизводят.
Типичная ошибка
Пропустить разницу n и 2n или делить на предел ноль при μ=0.
Что даёт этот метод
Нормируйте каждую сумму её размером до перехода к пределу.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: среднее косинусов: почти наверное и в среднем квадратичном
- МГУ: полный разбор итогового варианта по вероятности, 2025
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA10Q1. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.