Условие
X~U(0,10), Y=X². Найдите Var Y, SD Y, Cov(X,Y), Corr(X,Y), ковариацию (6X+2Y+7,−2Y+15), корреляцию (5−6X,8+9Y), Var(2Y+7). Предложите неслучайную h с Corr(h(X),X)=0 и Var h(X)>0.
Решение по шагам
EXᵏ=10ᵏ/(k+1). Поэтому Var Y=2000−(100/3)²=8000/9; SD Y=40√5/3. Cov(X,Y)=250−5·100/3=250/3. Corr(X,Y)=√15/4.
Билинейность даёт Cov(6X+2Y+7,−2Y+15)=−12Cov(X,Y)−4Var Y=−41000/9. Масштабы −6 и +9 меняют знак корреляции: −√15/4. Var(2Y+7)=4Var Y=32000/9.
Возьмём h(X)=(X−5)². Симметрия относительно 5 даёт E[(X−5)³]=0, поэтому Cov(h(X),X)=0. Дисперсия h положительна: 125−(25/3)²=500/9. Нулевая корреляция не означает независимость: h однозначно зависит от X.
Проверка результата
При линейном преобразовании дисперсия умножается на квадрат коэффициента, константа не влияет. Полученная корреляция по модулю меньше 1.
Типичная ошибка
Делать вывод о независимости из нулевой корреляции или забывать знак отрицательного множителя.
Что даёт этот метод
Центрирование и симметрия часто заменяют длинные интегралы.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: частная корреляция после удаления общей суммы
- ВШЭ, КНАД: декабрьская контрольная 2024, полный разбор
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA6Q1. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.