Условие
Линейный прогноз Y=α+βX минимизирует средний квадрат ошибки. Cov(X,Y)=10, Var X=40, EX=80, EY=10. Найдите α,β. Для обратных прогнозов L по R и R по L выразите произведение наклонов b,d через корреляцию.
Решение по шагам
При конечных вторых моментах и Var X>0 нормальные уравнения дают β=Cov(X,Y)/Var X=1/4, α=EY−βEX=10−20=−10. Прогноз −10+X/4 воспроизводит среднее Y.
В обратных направлениях b=Cov(R,L)/Var R и d=Cov(R,L)/Var L. Их произведение bd=Cov(R,L)²/[Var R Var L]=Corr(R,L)². Поэтому bd находится между 0 и 1, а d=1/b лишь при |Corr|=1 и ненулевом b.
Причина: оба прогноза минимизируют ошибку в своей зависимой переменной, а не являются алгебраическим обращением одной прямой.
Проверка результата
Средняя ошибка Y−(−10+X/4) равна нулю; её ковариация с X равна 10−40/4=0. Это необходимые и достаточные условия минимума квадратичного критерия.
Типичная ошибка
Обратить первую прямую и назвать полученную вторым оптимальным прогнозом.
Что даёт этот метод
Проверяйте ортогональность остатка и сохраняйте направление прогнозирования.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: гамма-класс по характеристической функции и свёртка
- ВШЭ, ПМИ: экзамен 28 марта 2025, полный разбор
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA6Q2. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.