Условие
Определите распределения и средние по φX(t)=exp(6it−10t²), φY(t)=exp(−1+5it−3t²+cos t+i sin t), φZ(t)=0,2e⁻ᵗ²+0,5/(2−eⁱᵗ)+0,3e²⁰²⁵ⁱᵗ.
Решение по шагам
X~N(6,20), EX=6. Для Y используем cos t+i sin t=eⁱᵗ: φY=e⁵ⁱᵗ·e⁻³ᵗ²·exp(eⁱᵗ−1). Это сумма 5+G+P независимых G~N(0,6), P~Pois(1); EY=6.
φZ — смесь, поскольку функции складываются с весами 0,2;0,5;0,3. Первый компонент N(0,2), второй геометрическое число неуспехов K с P(K=k)=2⁻⁽ᵏ⁺¹⁾, k≥0, третий постоянный 2025. EK=1, поэтому EZ=0,2·0+0,5·1+0,3·2025=608.
Сложение независимых величин даёт произведение характеристических функций; смесь законов — взвешенную сумму. Это разные операции.
Проверка результата
Каждая φ(0)=1; веса смеси суммируются в 1. Средние можно дополнительно проверить производной φ′(0)/i.
Типичная ошибка
Принять сумму функций за сумму независимых величин или сдвинуть геометрическое распределение на 1.
Что даёт этот метод
Ищите стандартные множители и отличайте их от смеси.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: гамма-класс по характеристической функции и свёртка
- ВШЭ, КНАД: декабрьская контрольная 2024, полный разбор
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA11Q1. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.