Все задачи варианта
- Половина стандартной нормали
- Линейная замена совместной плотности
- Пуассоновские снежинки и независимые приращения
- Сумма 200 бросков кубика и квантиль
- Нормальный вектор: комбинация, произведение и условный закон
- Beta-распределение и предельная точка
1. Половина стандартной нормали
Условие
X~N(0,1). Найдите E|X|, E(X|X>0), Var(X|X>0).
Редакционное решение
E|X|=2∫₀∞xφ(x)dx=√(2/π), поскольку φ′(x)=−xφ(x). Условная положительная половина имеет плотность 2φ(x), x>0, поэтому E(X|X>0)=√(2/π).
Симметрия даёт E(X²|X>0)=EX²=1. Дисперсия 1−2/π. Условное распределение не является нормальным на всей прямой: это усечённая нормаль.
Проверка и типичная ошибка
Оба средних положительны, дисперсия меньше 1. Вероятность условия 1/2 входит в нормировку.
2. Линейная замена совместной плотности
Условие
На [0,1]² f(x,y)=2x³+2y³. R=X−Y,S=X+3Y. Найдите плотность (R,S), fY|X, EY|X и одинаково ли распределены X,Y.
Редакционное решение
Обратная замена x=(3r+s)/4, y=(s−r)/4 имеет абсолютный якобиан 1/4. Поэтому fR,S(r,s)=(1/2)[((3r+s)/4)³+((s−r)/4)³], если 0≤3r+s≤4 и 0≤s−r≤4; иначе 0.
fX(x)=2x³+1/2. Условная плотность (2x³+2y³)/(2x³+1/2) на y∈[0,1]. Условное среднее (x³+2/5)/(2x³+1/2). Симметрия исходной плотности при перестановке x,y доказывает одинаковые маргинальные законы. Это не доказывает независимости.
Проверка и типичная ошибка
Матрица прямой замены имеет определитель 4, поэтому делим плотность на 4. Область преобразования — параллелограмм, не исходный квадрат.
3. Пуассоновские снежинки и независимые приращения
Условие
Интенсивность потока λ=2 в секунду. Найдите шанс ≤2 снежинок за 3 с, второй снежинки до 4 с, P(N₅=10|N₄=6), Var(N₅|N₄=6).
Редакционное решение
N₃~Pois(6), поэтому P(N₃≤2)=e⁻⁶(1+6+18)=25e⁻⁶≈0,0619688. Вторая снежинка до 4 секунд эквивалентна N₄≥2: 1−e⁻⁸(1+8).
При N₄=6 следующий независимый прирост Pois(2). Для N₅=10 нужны четыре новых: e⁻²2⁴/4!. Условная дисперсия N₅ равна 2, потому что известное прошлое уже не случайно внутри условия.
Проверка и типичная ошибка
Считать N₅ новым Pois(10) после знания N₄=6 — потерять информацию. Независим прирост, а не весь счёт.
4. Сумма 200 бросков кубика и квантиль
Условие
Честный кубик бросают n>100 раз, S=ΣXᵢ. Найдите EXᵢ,Var Xᵢ, приближение P(S>ES+√n) и порог a с приблизительным P(S>a)=0,52 при n=200.
Редакционное решение
EXᵢ=7/2, EXᵢ²=91/6, Var=35/12. ЦПТ даёт P(S>ES+√n)≈1−Φ(√(12/35))≈0,2790923.
Для n=200 ES=700, SD=√(200·35/12). Условие верхнего хвоста 0,52 означает нижнюю вероятность 0,48: a≈700+√(200·35/12)Φ⁻¹(0,48)≈698,788676. В таблице Φ значения около 0,48 требуют отрицательного аргумента.
S принимает только целые значения, поэтому точный хвост скачкообразен. Число a здесь — нормальное приближение; равенство ровно 0,52 в исходном дискретном законе не гарантируется. Поправка на непрерывность зависит от выбранного целочисленного порога.
Проверка и типичная ошибка
Квантиль ниже среднего: верхний хвост немного больше половины. Делить √n на SD суммы нужно после сокращения √n.
5. Нормальный вектор: комбинация, произведение и условный закон
Условие
Y нормален с μ=(0,1,2), C=[[10,−1,−2],[−1,20,−3],[−2,−3,30]]. Найдите E(Y₁−5Y₂), Var, P(>0), Cov(Y₁Y₂,Y₃), P(Y₁>0|Y₂=2).
Редакционное решение
Z=Y₁−5Y₂ нормален со средним −5, дисперсией 10+25·20−10·(−1)=520. P(Z>0)=1−Φ(5/√520).
Для совместной нормали Cov(Y₁Y₂,Y₃)=μ₁C₂₃+μ₂C₁₃=−2. Центрированный третий момент нулевой, но ненулевые средние других компонент нужно сохранить.
Y₁|Y₂=2 имеет среднее μ₁+C₁₂(2−μ₂)/C₂₂=−1/20 и дисперсию C₁₁−C₁₂²/C₂₂=199/20. Поэтому P(Y₁>0|Y₂=2)=1−Φ[(1/20)/√(199/20)].
Проверка и типичная ошибка
Условное среднее чуть отрицательно, вероятность чуть меньше 1/2. Вне диагональные элементы здесь отрицательны и меняют оба ответа.
6. Beta-распределение и предельная точка
Условие
Xₙ~Beta(n+10,20). Найдите закон 1−X₃₀, E(1/X₃₀), E[X₃₀/(1−X₃₀)] и предел по распределению Xₙ.
Редакционное решение
X₃₀~Beta(40,20), отражение 1−X₃₀~Beta(20,40). Интегралы через бета-функцию дают E(1/X)=(α+β−1)/(α−1)=59/39 и E[X/(1−X)]=α/(β−1)=40/19. Нужные условия α>1,β>1 выполнены.
E(1−Xₙ)=20/(n+30)→0. По Маркову P(1−Xₙ>ε)≤20/[(n+30)ε]→0. Поэтому Xₙ→1 по вероятности и Xₙ⇒δ₁ по распределению. Независимость разных Xₙ для этих двух выводов не требуется.
Проверка и типичная ошибка
Предельная мера сосредоточена на границе [0,1], это не Beta с конечными параметрами. Не путайте E(1/X) с 1/EX.
Как продолжить подготовку
Задачи по темам и другие разборы экзаменов.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: пуассоновский поток: времена событий и условные счёты
- ВШЭ, вероятность: случайная разметка кубика и зависимые броски
- ВШЭ, вероятность: Box — Muller и плотность линейно преобразованной нормали
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_knad_probability_2024_2025, complete variant midterm_exam2/knad_24_midterm_exam_2_december.tex. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.