Все задачи варианта
- Плотность 2x²+y² на квадрате
- Дифференциальная энтропия и миллион интервалов
- Нормальная величина и её квадрат
- Линейное преобразование нормального вектора
- Два пуассоновских потока такси
- Плотность с ошибкой памяти и два атома
1. Плотность 2x²+y² на квадрате
Условие
На [0,1]² f(x,y)=2x²+y², вне квадрата 0. Найдите fX, fY|X, Corr(X,Y), E(Y|X), F(0,5;0,5).
Редакционное решение
Интегрирование по y даёт fX(x)=2x²+1/3; условная плотность (2x²+y²)/(2x²+1/3) на [0,1]. Условное среднее (x²+1/4)/(2x²+1/3).
Прямые моменты: EX=2/3, EY=7/12, EX²=23/45, EY²=19/45, EXY=3/8. Поэтому Var X=1/15, Var Y=59/720, Cov=−1/72 и Corr=−5/√708=−5√177/354. Интеграл по [0,1/2]² равен 1/16, это F(0,5;0,5).
Проверка и типичная ошибка
Полный интеграл плотности 1. Ошибка — принять X,Y независимыми: плотность задана суммой и не факторизуется.
2. Дифференциальная энтропия и миллион интервалов
Условие
X имеет плотность 2x на [0,1]. Найдите энтропию, среднее число вопросов да/нет для точности 10⁻⁶ и пример первого вопроса. Для дискретной модели точность означает выбор одного из 10⁶ равных интервалов.
Редакционное решение
h(X)=−∫₀¹2x ln(2x)dx=1/2−ln2 натуральных единиц. Это дифференциальная энтропия, её нельзя напрямую назвать числом вопросов.
Пусть n=10⁶, интервал i=[i/n,(i+1)/n), i=0,…,n−1. Его вероятность (2i+1)/n². Дискретная энтропия H≈19,65291609 бита; асимптотически H=log₂n+h/ln2+o(1). Для произвольных вопросов да/нет оптимальное префиксное дерево Хаффмана даёт L≈19,678905720837 вопроса. Точный суммарный вес слияний равен 19678905720837; делим на n². Этот расчёт получен двумя отсортированными очередями весов, каждый раз объединяющими два минимальных.
H≤L<H+1. Удобный примерно сбалансированный первый вопрос: «X≤1/√2?»; вероятность ответа да равна 1/2. Это пример сравнения, а не утверждение о точной первой ветви дерева Хаффмана. Если точность понимается как абсолютная ошибка ≤10⁻⁶, допускаются интервалы ширины 2·10⁻⁶, и число вопросов меняется.
Проверка и типичная ошибка
Плотность интегрируется в 1. Вычисленная L лежит между H и H+1. Дискретная модель и допустимый класс вопросов указаны, чтобы ответ был проверяемым.
3. Нормальная величина и её квадрат
Условие
X~N(3,16). Найдите EX², Cov(X,X²), P(X>3), P(X>7).
Редакционное решение
EX²=Var X+(EX)²=16+9=25. Для нормальной величины EX³=μ³+3μσ², поэтому Cov(X,X²)=EX³−μEX²=2μσ²=96.
Стандартизация Z=(X−3)/4 даёт P(X>3)=1/2, P(X>7)=1−Φ(1)≈0,158655254. Центрированные нечётные моменты нормали нулевые, но у исходной величины с μ=3 третий момент не нулевой.
Проверка и типичная ошибка
Число 16 — дисперсия, SD=4. Не подставляйте 16 в знаменатель стандартизации.
4. Линейное преобразование нормального вектора
Условие
X нормален с μ=(1,2,3), C=[[40,1,−1],[1,20,0],[−1,0,30]]. Y=(X₁−X₂,X₂−X₃). Найдите закон Y, EY, Cov Y, E(X₁X₂X₃), Cov(X₁²,X₃).
Редакционное решение
Матрица A=[[1,−1,0],[0,1,−1]]. Y нормален с EY=Aμ=(−1,−1) и ковариацией ACAᵀ=[[58,−18],[−18,50]].
Центрированные нечётные моменты совместной нормали равны нулю. Поэтому E(X₁X₂X₃)=μ₁μ₂μ₃+μ₁C₂₃+μ₂C₁₃+μ₃C₁₂=6+0−2+3=7. Cov(X₁²,X₃)=2μ₁C₁₃=−2.
Проверка и типичная ошибка
Матрица Y симметрична, определитель 2576>0. Используйте все вне диагональные ковариации; независимость не дана.
5. Два пуассоновских потока такси
Условие
Белые такси прибывают с интенсивностью 2 за 10 минут, жёлтые — 3 за 10 минут, потоки независимы. Найдите ожидание первого любого такси, шанс жёлтого раньше белого и шанс ровно двух жёлтых до первого белого.
Редакционное решение
Суммарный поток имеет интенсивность 0,5 в минуту, поэтому среднее ожидание 2 минуты. Тип первого события жёлтый с вероятностью 0,3/0,5=3/5.
В объединённом потоке типы независимы с теми же вероятностями. Ровно два жёлтых до белого — последовательность Ж,Ж,Б; вероятность (3/5)²(2/5)=18/125=0,144. Случаи с тремя и более жёлтыми исключены.
Проверка и типичная ошибка
Вероятность хотя бы двух жёлтых была бы (3/5)²; слово «ровно» требует завершающего белого.
6. Плотность с ошибкой памяти и два атома
Условие
X имеет плотность 2x на [0,1]. При X≤0,5 записывают Y=X; иначе независимо записывают 0,1 либо 0,2 по 1/2. Найдите FY,EY,Var Y.
Редакционное решение
Масса X≤0,5 равна 1/4 и даёт непрерывную часть с плотностью 2y на (0,0,5). Остальные 3/4 поровну образуют атомы 3/8 в 0,1 и 0,2.
Для 0≤y<0,5 FY(y)=y²+(3/8)I(y≥0,1)+(3/8)I(y≥0,2); до нуля функция 0, от 0,5 — 1. Среднее ∫₀¹/²2x²dx+(3/8)(0,1+0,2)=47/240. Второй момент ∫₀¹/²2x³dx+(3/8)(0,01+0,04)=1/20. Дисперсия 1/20−(47/240)²=671/57600≈0,0116493.
Проверка и типичная ошибка
Непрерывная масса 1/4 плюс два атома по 3/8 дают 1. Без атомов ожидание и CDF были бы неверны.
Как продолжить подготовку
Задачи по темам и другие разборы экзаменов.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: случайная разметка кубика и зависимые броски
- Три шляпы: почему порядок ответов меняет оптимум с 3/4 на 7/8
- ВШЭ, вероятность: рандомизированные ответы анкеты
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, msu_probability_spring_2025, complete variant may_midterm/may_midterm.tex. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.