Три шляпы: почему порядок ответов меняет оптимум с 3/4 на 7/8

Условие

Три человека независимо получают белую или чёрную шляпу с равными вероятностями. Каждый видит чужие цвета. Можно назвать свой цвет либо отказаться. Команда выигрывает, если есть правильный ответ и нет неправильных. Сравните последовательные слышимые ответы и одновременные ответы.

Решение по шагам

Если ответы последовательны, первый говорит «чёрная» только при двух белых чужих шляпах; иначе молчит. После его отказа второй, видя белую третью шляпу, знает, что его собственная чёрная, и отвечает. Если второй тоже отказался, третий знает, что его шляпа чёрная. Команда проигрывает только при трёх белых: успех 7/8.

Лучше нельзя: предположим, что стратегия выигрывает во всех восьми конфигурациях. Первый участник не может отвечать ни при одном наблюдении: две возможные собственные шляпы для него неразличимы, и одна дала бы ошибку. Значит он всегда отказывается. Его отказ ничего не сообщает второму; по той же причине второй всегда отказывается, затем и третий. Команда тогда никогда не выигрывает — противоречие. Поэтому хотя бы одна конфигурация проигрышна; случайное смешивание стратегий верхнюю границу не улучшает.

При одновременных ответах стратегия другая: увидев одинаковые чужие цвета, назови противоположный; иначе откажись. Проигрыш только при трёх одинаковых, успех 3/4. Для оптимальности каждому выигрышному состоянию сопоставим соседнее проигрышное с изменённой шляпой отвечающего. Один проигрышный сосед имеет не больше трёх соседей, значит W ≤ 3L и W/(W+L) ≤ 3/4.

Проверка результата

Последовательная стратегия проверена по всем восьми цветовым тройкам: семь побед. При одновременной — шесть. Разрешено слышать ответы и отказы только в первой модели.

Типичная ошибка

Применять ответ 3/4 без уточнения, слышат ли участники предыдущие реплики. Порядок даёт дополнительную информацию.

Что даёт этот метод

Перед оптимизацией стратегии перечислите доступную информацию в каждый момент.

Дальше по теме

Теория вероятностей: другие задачи.

Следующие разборы

Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев и участники, probability_dna, L559. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC BY 4.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.