Условие
Маша и Саша играют в быстрые шахматы. Класс игры у них одинаковый, и оба предпочитают играть белыми, потому что белыми выигрывают с вероятностью p=0,7. Партии играются до 10 побед, не обязательно подряд. Ничья в быстрых шахматах невозможна.
Первую партию Маша играет белыми. Она считает, что в следующей партии белыми должен играть тот, кто выиграл предыдущую. Саша считает, что цвета нужно чередовать. При каком варианте правил у Маши больше шансов выиграть матч?
Решение источника
Шансы Маши одинаковы при обоих вариантах правил. Матч длится не более 19 партий. Попросим игроков всегда доигрывать до 19 партий и объявлять победителем того, кто выиграл больше; вероятности от этого не меняются. При чередовании Маша играет белыми ровно 10 партий, Саша — ровно 9.
При правиле «белыми играет победитель» до момента, когда исход матча предрешён, Маша не может сыграть белыми больше 10 раз, а Саша — больше 9. После этого момента цвета можно раздавать как угодно, на исход это не влияет. Значит, и здесь можно считать, что Маша играет белыми ровно 10 партий, а Саша — 9, и оба варианта правил совпадают.
Редакционное объяснение
Почему порядок раздачи цветов не важен, можно пояснить так. Заранее подготовим две независимые последовательности исходов: 10 «белых партий Маши», в каждой из которых она выигрывает с вероятностью 0,7, и 9 «белых партий Саши», в каждой из которых Маша выигрывает с вероятностью 0,3. Перед каждой партией правило решает, кто играет белыми, и берётся очередной неиспользованный исход из соответствующей последовательности. Правило может зависеть от прошлых результатов. После фактического окончания матча доиграем до 19 партий и раздадим цвета в доигрываемых партиях так, чтобы у Маши набралось ровно 10 белых партий, а у Саши — 9; это возможно, потому что к концу настоящего матча у Маши не больше 10 белых партий (первая плюс партии после её побед, кроме последней), а у Саши не больше 9. Тогда обе последовательности будут израсходованы полностью. Поэтому итоговое число побед Маши при любом из двух правил равно X+Y, где
X ~ Bin(10; 0,7) — её победы белыми, Y ~ Bin(9; 0,3) — её победы чёрными, X и Y независимы.
Маша выигрывает матч ровно тогда, когда X+Y≥10. Точный расчёт даёт P(Маша выигрывает)≈0,5407 при обоих правилах.
Проверка: динамическое программирование по состояниям «победы Маши, победы Саши, кто играет белыми» для каждого правила даёт одну и ту же точную дробь 0,540706664…; та же сумма по формуле X+Y≥10 совпадает с ней. Равенство правил сохраняется и при других p (проверены 0,5, 0,6, 0,9) и при игре до 1, 2, 3, 5 побед. Моделирование 200 000 матчей для каждого правила дало 0,542 и 0,538.
Преимущество Маши около 4 процентных пунктов объясняется только тем, что она начинает белыми и потому получает на одну белую партию больше в доигранном матче. Выбор правила на это преимущество не влияет.
Правила при этом не эквивалентны во всём остальном. Например, среднее число сыгранных партий равно ≈15,26 при правиле «белыми играет победитель» и ≈16,70 при чередовании: победитель сохраняет белые и чаще продолжает выигрывать.
Что не следует из ответа
Равенство опирается на независимость партий и на то, что вероятность исхода зависит только от того, кто играет белыми. Если игроки устают, «разыгрываются» или результат зависит от счёта, рассуждение с заранее подготовленными исходами не работает.
Из ответа не следует, что цвет не важен: при p=0,7 преимущество белых велико, просто при любом из двух правил Маша получает белые в 10 из 19 партий доигранного матча.
Если бы в быстрых шахматах были возможны ничьи, матч не был бы ограничен 19 партиями, и рассуждение источника пришлось бы пересматривать.
Борис Демешев и участники · probability_dna, задача «Быстрые шахматы до 10 побед» · Исходное задание и решение · CC BY 4.0. Адаптация: условие сохранено близко к источнику, решение сокращено, добавлены строгое пояснение через заранее подготовленные исходы, точная вероятность, среднее число партий и численная проверка.