Условие
Независимые броски имеют шанс орла 0,4. X — номер первого орла; Y — индикатор орла на третьем броске. Найдите EY, EX, P(X≥5|Y), E(Y|X=5), E(X|Y), E(Y|X).
Решение по шагам
EY=0,4, EX=1/0,4=2,5. При Y=1 первый орёл не позже третьего, P(X≥5|Y=1)=0. При Y=0 третий исход уже решка; остаются три требуемые решки на бросках 1,2,4, вероятность 0,6³=0,216.
Если X=5, третий — решка, поэтому E(Y|X=5)=0. Для X=1 или 2 третий ещё независим: E(Y|X)=0,4; для X=3 — 1; для X>3 — 0.
При Y=1 вероятности X=1,2,3 равны 0,4;0,24;0,36. Среднее 1,96=49/25. При Y=0 первые два броска сохраняют распределение; если оба решки (вероятность 0,36), ожидание X=3+2,5=5,5. Поэтому EX|Y=0=0,4+2·0,24+0,36·5,5=2,86=143/50.
Проверка результата
Полное ожидание: 0,4·1,96+0,6·2,86=2,5. Значения условного индикатора всегда в [0,1].
Типичная ошибка
Считать X и Y независимыми: третий бросок входит в событие первого орла.
Что даёт этот метод
Информация о будущем броске меняет распределение времени первого успеха.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- МГУ, вероятность: условные ожидания из совместной таблицы
- МГУ: майская контрольная по вероятности, полный разбор 2025
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, msu_probability_spring_2025, HA3Q2. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.