Условие
Для X=−1,0,1 строка Y=0 имеет вероятности 0,1;0,2;0,3, строка Y=1 — 0,2;0,1;0,1. Найдите P(Y=1|X≥0), E(Y|X≥0), E[I(X≥0)|Y], E(Y|X), E(X|Y), E[1/(X+2)|Y].
Решение по шагам
Маргинальные вероятности X: 0,3;0,3;0,4, Y: 0,6;0,4. При X≥0 масса 0,7, из неё Y=1 занимает 0,2; вероятность и ожидание индикатора Y равны 2/7.
E[I(X≥0)|Y=0]=5/6, при Y=1 — 1/2. Значения E(Y|X) для X=−1,0,1: 2/3,1/3,1/4. Значения E(X|Y) при Y=0,1: 1/3,−1/4.
Для преобразования g(X)=1/(X+2) нужно усреднять значения 1,1/2,1/3, а не подставлять среднее X. При Y=0 получается 1/2, при Y=1 — 17/24.
Проверка результата
Восстановление EX: (1/3)·0,6+(−1/4)·0,4=0,1; прямое суммирование по X даёт то же. В каждой условной строке сумма вероятностей 1.
Типичная ошибка
Нормировать по исходной общей таблице вместо вероятности условия или заменять E[g(X)|Y] на g(E[X|Y]).
Что даёт этот метод
При фиксированном условии сначала перенормируйте соответствующий срез распределения.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: условное ожидание по событию и обратимому преобразованию
- ВШЭ, КНАД: декабрьская контрольная 2024, полный разбор
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, msu_probability_spring_2025, HA3Q1. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.