Условие
Для нормированной конечно-аддитивной вероятности докажите эквивалентность счётной аддитивности, непрерывности снизу для Bₙ↑B и непрерывности сверху для Cₙ↓C.
Решение по шагам
Счётная аддитивность ⇒ непрерывность снизу. Разложим B на непересекающиеся D₁=B₁, Dₙ=Bₙ\Bₙ₋₁. Тогда P(Bₙ)=Σₖ≤ₙP(Dₖ), предел равен Σₖ≥₁P(Dₖ)=P(B).
Непрерывность снизу ⇒ счётная аддитивность. Для непересекающихся Aₖ положим Bₙ=∪ₖ≤ₙAₖ. Конечная аддитивность даёт P(Bₙ)=Σₖ≤ₙP(Aₖ); предел по непрерывности равен P(∪ₖAₖ).
Непрерывности сверху и снизу эквивалентны через дополнения: Cₙ↓C тогда и только тогда, когда Cₙᶜ↑Cᶜ. Нормировка и конечная аддитивность дают P(Cₙ)=1−P(Cₙᶜ). Переход к пределу завершает доказательство. Конечность меры здесь обеспечена тем, что это вероятность.
Проверка результата
Для Bₙ↑B разности Dₙ попарно несовместны и их объединение ровно B; это ключевой проверяемый шаг.
Типичная ошибка
Использовать счётную аддитивность внутри доказательства обратного направления. Там допустимы только конечная аддитивность и заданная непрерывность.
Что даёт этот метод
Выделение непересекающихся приращений связывает пределы множеств с суммами вероятностей.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, msu_probability_spring_2025, HA1Q4. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.