Все задачи варианта
- Три кубика и условная вероятность
- Точка на периметре треугольника
- Два предела экспоненциальной выборки
- Мультипликативная цена и нормальное приближение
- Сумма независимых величин и элемент вероятности
- Угадать большее неизвестное число
1. Три кубика и условная вероятность
Условие
Из трёх кубиков два честных, третий имеет три двойки и три четвёрки. Два выбирают без возвращения и бросают. Найдите P(X₂=2|X₁=2), независимость результатов и шанс обоих честных кубиков при двух двойках.
Редакционное решение
Оба честных выбраны с вероятностью 1/3; честный и особый — 2/3. Вероятность двух двоек (1/3)(1/36)+(2/3)(1/12)=7/108. Маргинальная вероятность двойки у первого (2/3)(1/6)+(1/3)(1/2)=5/18. Условная вероятность равна (7/108)/(5/18)=7/30.
Она не равна P(X₂=2)=5/18, поэтому результаты зависимы. Причина — общий выбор кубиков без возвращения. Вероятность двух честных при двух двойках по Байесу (1/108)/(7/108)=1/7.
Проверка и типичная ошибка
Нельзя считать оба выбора независимыми. Условное знание о первом результате меняет состав оставшегося выбора.
2. Точка на периметре треугольника
Условие
Точка равномерна по длине периметра с вершинами (0,0),(0,1),(4,0). Найдите EY при X=0 и X>0, затем E(Y|X), Var(Y|X).
Редакционное решение
Длины сторон 1,4,√17. Событие X=0 имеет положительную вероятность: это вся вертикальная сторона. На ней Y равномерна на [0,1], поэтому среднее 1/2 и дисперсия 1/12.
При X>0 доступны основание и наклонная сторона; условный вес наклонной p=√17/(4+√17). Проекции обеих сторон по X равномерны на (0,4), поэтому при X=x их веса те же. Y=0 с весом 1−p, Y=1−x/4 с весом p. Значит E(Y|X=x)=p(1−x/4), Var(Y|X=x)=p(1−p)(1−x/4)². Среднее при X>0 равно p/2. Значения при X=4 можно задать произвольно: эта точка имеет нулевую вероятность.
Проверка и типичная ошибка
Условие по периметру отличается от равномерной точки внутри треугольника. При X=0 нельзя использовать формулу для двух невертикальных сторон.
3. Два предела экспоненциальной выборки
Условие
Xᵢ iid Expo(λ). Найдите предел по вероятности ΣXᵢ²/(3n+100) и n⁻¹Σ(Xᵢ−X̄)².
Редакционное решение
EX=1/λ, EX²=2/λ². Закон больших чисел для X² применим, поскольку второй момент конечен. Первая дробь = [(ΣXᵢ²)/n]/(3+100/n) → 2/(3λ²).
Второе выражение равно (ΣXᵢ²)/n−X̄². Его предел 2/λ²−1/λ²=1/λ². Разница знаменателей n и n−1 для выборочной дисперсии исчезает в пределе.
Проверка и типичная ошибка
Параметр λ здесь интенсивность. При λ=1 пределы 2/3 и 1, что совпадает с известной дисперсией Exp(1).
4. Мультипликативная цена и нормальное приближение
Условие
Цена 100, за каждый из 64 независимых дней +8% или −5% по 1/2. Используйте ln1,08=0,077, ln0,95=−0,051, ln1,1=0,095. Найдите шанс цены >110 и порог верхних 10%.
Редакционное решение
K — число повышений, K~Bin(64,1/2). Логарифм отношения цен L=0,128K−3,264. Его среднее 0,832, стандартное отклонение 0,512. По нормальному приближению P(L>0,095)≈1−Φ((0,095−0,832)/0,512)=Φ(1,43945)≈0,92499.
С дискретным K условие означает K≥27. Точная биномиальная вероятность Σₖ₌₂₇⁶⁴C(64,k)/2⁶⁴≈0.915678544; нормальная поправка на непрерывность даёт Φ((32−26,5)/4)=Φ(1,375)≈0,91543 и заметно точнее.
Для верхних 10% нормальная модель даёт a=100exp[0,832+0,512Φ⁻¹(0,9)]≈442,89. Это приближённый порог по округлённым логарифмам. В точном дискретном законе вероятность хвоста скачком переходит от P(K≥37)≈0,130218 к P(K≥38)≈0,084321; детерминированного порога с хвостом ровно 0,1 нет.
Проверка и типичная ошибка
Порог вероятности и вероятность его превышения не являются точными нормальными величинами. Разбор относится к заданной учебной модели цены.
5. Сумма независимых величин и элемент вероятности
Условие
Независимые X₁,X₂ имеют плотности f₁,f₂. Найдите плотности (X₁,X₂), (X₁,S=X₁+X₂), элементы вероятности как дифференциальные формы и плотность S.
Редакционное решение
Совместная плотность f₁(x₁)f₂(x₂); элемент вероятности f₁(x₁)f₂(x₂) dx₁∧dx₂. Замена s=x₁+x₂ имеет обратную x₂=s−x₁ и определитель якобиана 1.
Следовательно плотность (X₁,S) равна f₁(x₁)f₂(s−x₁); элемент f₁(x₁)f₂(s−x₁) dx₁∧ds. Маргинальная плотность суммы — свёртка fS(s)=∫ℝf₁(x)f₂(s−x)dx. Интегрировать следует по тем x, где обе плотности ненулевые.
Проверка и типичная ошибка
dx₁∧d(s−x₁)=dx₁∧ds. Интеграл свёртки по s равен 1 по нормировке исходных плотностей.
6. Угадать большее неизвестное число
Условие
Два различных натуральных числа a<b скрыты в двух руках. Выбирают руку равновероятно и видят одно число. Дайте стратегию с шансом ровно 1/2 и строго больше 1/2 для любой фиксированной пары.
Редакционное решение
Для ровно 1/2 достаточно независимо бросить честную монету и по ней сказать «большее» или «меньшее».
Для улучшения генерируем K≥1 с P(K=k)=2⁻ᵏ: это номер первого орла честной монеты. Заранее выбираем порог K+1/2. Увиденное x называем большим при x>K+1/2, иначе меньшим. Если порог между a,b, обе руки дают верный ответ. Если вне интервала, верна одна из двух. Поэтому успех =1/2+(1/2)Σₖ₌ₐᵇ⁻¹2⁻ᵏ>1/2.
Гарантия строгая для каждой пары, но единой положительной прибавки для всех пар у этой стратегии нет: для больших соседних чисел она мала.
Проверка и типичная ошибка
Полная поддержка порога обязательна: ограниченный порог не улучшит шанс для пары за его пределами. Генерация K использует доступную честную монету.
Как продолжить подготовку
Задачи по темам и другие разборы экзаменов.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: случайная разметка кубика и зависимые броски
- ВШЭ, вероятность: три предела по закону больших чисел
- МГУ, вероятность: ожидание до HHT или THT
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, msu_probability_spring_2025, complete variant final/final.tex. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.