Условие
Банк изначально 0. Выпадение 1,2,3 добавляет столько рублей; 4 или 5 завершает игру в пользу игрока M, 6 — D. Найдите шанс D, длительность, ожидаемые выигрыши, справедливую цену; затем начальный банк 100 и вариант, где 5 обнуляет банк и игра продолжается.
Решение по шагам
В исходной игре остановка имеет вероятность 1/2 на бросок, ET=2. Среди останавливающих исходов D достаётся один из трёх, значит P(D)=1/3. Средняя прибавка банка за бросок (1+2+3)/6=1. До остановки ожидаемый банк 2. Финальный получатель независим от накопления: EM=4/3, ED=2/3. Справедливая цена для M при нулевом начальном банке 4/3; общий ожидаемый размер выплаты 2.
При начальном банке 100 EM=(2/3)(100+2)=68, ED=34. Если M финансирует исходные 100 сам, его чистое ожидание 68−100=−32; стоимость участия зависит от того, чей это банк.
В варианте со сбросом на 5 остановка только при 4,6: ET=3, получатели симметричны. Пусть m(s)=as+b — ожидаемая выплата M при текущем банке s. Уравнение m(s)=[m(s+1)+m(s+2)+m(s+3)+s+m(0)]/6 даёт a=1/3,b=1. Значит EM=ED=1 из нуля; справедливая цена для M 1, общий размер выплаты 2.
Проверка результата
После сброса ожидание общего банка не равно ET: часть накопленного теряется. Подстановка m(s)=s/3+1 выполняет уравнение для любого s.
Типичная ошибка
Назвать общей ценой для M сумму выплат обоим игрокам. Важно указать, чью выплату оценивают.
Что даёт этот метод
Разделяйте длительность, накопленный банк, вероятность получателя и индивидуальное ожидание.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- Петербургская лотерея: бесконечное среднее и потолок выплаты
- ВШЭ, ПМИ: контрольная «Альфа» 2024, все шесть задач
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, msu_probability_spring_2025, HA2Q6. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.