Условие
Честную монету бросают до первого появления HHT или THT. Найдите среднее число бросков, вероятность победы HHT и среднее число решек до остановки.
Решение по шагам
Храним самый длинный суффикс, являющийся началом одного из образцов: пустой, H, HH, T, TH. Попадание в HHT или THT поглощает цепь. Для ожиданий времени из этих состояний получаем e₀=1+(eH+eT)/2, eH=1+(eHH+eT)/2, eHH=1+eHH/2, eT=1+(eTH+eT)/2, eTH=1+eHH/2.
Решение: e₀=5, eH=eT=4, eHH=eTH=2. Для вероятности HHT те же переходы без добавления 1 и с границами 1,0 дают u₀=5/8. Для числа решек каждый переход T добавляет 1; решение даёт 5/2.
Проверка через остановку: ожидаемое число решек у честной монеты равно половине ожидаемого времени, если оно конечно, что здесь следует из решённой конечной системы.
Проверка результата
Подстановка в пять уравнений проверяет среднее 5; отдельная система вероятностей даёт 5/8, а не 1/2.
Типичная ошибка
Считать равновероятными победы только потому, что оба слова длины три. Их перекрытия различны.
Что даёт этот метод
Автомат суффиксов учитывает перекрывающиеся образцы без перечисления всех историй.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- МГУ, вероятность: счётная аддитивность и непрерывность вероятности
- МГУ: полный разбор итогового варианта по вероятности, 2025
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, msu_probability_spring_2025, HA2Q2. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.