МГУ, вероятность: адаптивный выбор монеты и смешанный момент EXY

Условие

Монета A даёт орла с вероятностью 0,3, B — 0,4. Делают 100 бросков, начиная с A; после орла используют A, после решки B. X — все орлы, Y — орлы на B. Найдите EX, EY и EXY.

Решение по шагам

Нужно хранить не только ожидаемое число орлов, но и связь накопленных X,Y с текущей монетой. Для каждой монеты c храним массу w=P(c), взвешенные моменты x=E[X·I(c)], y=E[Y·I(c)], z=E[XY·I(c)]. Начало: wA=1, остальные величины нулевые.

При очередном исходе h∈{0,1} прибавка d к Y равна 1 только для орла на B. Новые значения до умножения на вероятность исхода: w, x+hw, y+dw, z+hy+dx+hdw. Орёл направляет вклад в состояние A, решка — B. После 100 шагов суммируем состояния.

Ответы: EX≈36.305785123967, EY≈25.223140495868, EXY≈922.018714568677. Приведённый ниже код считает с точными рациональными числами и округляет только печать.

Проверка результата

Суммарная масса остаётся 1 на каждом шаге; 0≤Y≤X≤100. Смешанный момент включает слагаемое hdw, без которого неверно учитывается общий орёл.

Типичная ошибка

Использовать стационарное распределение с первого броска или заменять EXY произведением EX·EY.

Что даёт этот метод

Динамика взвешенных моментов позволяет избежать перебора 2¹⁰⁰ траекторий.

Воспроизводимый расчёт на Python

from fractions import Fraction as F
s = {'A': [F(1), F(0), F(0), F(0)], 'B': [F(0)]*4}
for _ in range(100):
    z = {'A': [F(0)]*4, 'B': [F(0)]*4}
    for coin, (w, x, y, xy) in s.items():
        p = F(3,10) if coin == 'A' else F(4,10)
        for h, prob in [(1,p), (0,1-p)]:
            d = int(coin == 'B' and h)
            vals = [w, x+h*w, y+d*w, xy+h*y+d*x+h*d*w]
            target = z['A' if h else 'B']
            for j, value in enumerate(vals):
                target[j] += prob*value
    s = z
print([float(sum(v[j] for v in s.values())) for j in (1,2,3)])

Дальше по теме

Университетские задачи по вероятности.

Следующие разборы

Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, msu_probability_spring_2025, HA1Q2. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.