Условие
X~N(0,1). Найдите MX(t), EX²⁰²⁴. Для Y~N(10,16) найдите P(Y>20) и a>0 с P(|Y−10|≤a)=0,7.
Решение по шагам
Завершение квадрата в интеграле даёт MX(t)=exp(t²/2). Коэффициент при t²ᵏ равен 1/(2ᵏk!), поэтому EX²ᵏ=(2k)!/(2ᵏk!)=(2k−1)!!. При k=1012 ответ 2024!/(2¹⁰¹²·1012!)=2023!!; нечётные моменты нулевые.
У Y стандартное отклонение 4. P(Y>20)=1−Φ(2,5)≈0,006209665. Центральные 70% оставляют по 15% в хвостах: a=4Φ⁻¹(0,85)≈4,1457336.
Проверка результата
MY(0)=1; EX²=1 согласуется с дисперсией. Для центрального интервала нужно брать квантиль 0,85, а не 0,70.
Типичная ошибка
Принять параметр 16 за стандартное отклонение или вычислять огромный момент числом с плавающей точкой.
Что даёт этот метод
Работайте с символической формой моментов и стандартизуйте нормальные вероятности.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: среднее косинусов: почти наверное и в среднем квадратичном
- МГУ: майская контрольная по вероятности, полный разбор 2025
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA9Q1. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.