Условие
φ(t)=(1−iat)⁻ᵇ, a,b>0. Найдите среднее и дисперсию. Замкнут ли класс при сумме независимых величин с одинаковым a=52?
Решение по шагам
Это Gamma(shape=b,scale=a), то есть интенсивность 1/a. Логарифм функции −b ln(1−iat)=iabt−ba²t²/2+o(t²). Кумулянты дают EX=ab, Var X=ba².
Для независимых X₁,X₂ с общим a и формами b₁,b₂ произведение функций равно (1−iat)⁻⁽ᵇ¹⁺ᵇ²⁾. Сумма снова принадлежит классу с тем же a, формой b₁+b₂. Поэтому ответ для a=52 положительный.
Одинаковый масштаб существенен: при разных a произведение в общем случае не сводится к одной степени такого же линейного множителя. Для целой формы это сумма экспонент одинакового масштаба; нецелая форма также допустима.
Проверка результата
Среднее и дисперсия суммируются: a(b₁+b₂), a²(b₁+b₂). Функция в нуле равна 1.
Типичная ошибка
Называть a интенсивностью: в данной записи оно является масштабом. Тогда моменты обращаются неверно.
Что даёт этот метод
Логарифм характеристической функции удобен для моментов и замкнутых свёрточных семейств.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: распознавание характеристических функций и смесей
- ВШЭ, ПМИ: экзамен 28 марта 2025, полный разбор
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA11Q6. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.