Условие
В конспекте записано φ(t)=3/4+2it−t²+o(t²). Сколько минимум ошибок в коэффициентах? Приведите корректные варианты.
Решение по шагам
Первая ошибка обязательна: для любой характеристической функции φ(0)=1, а не 3/4. Если исправить только константу, коэффициенты предполагают EX=2 и EX²=2, поскольку φ=1+iEX·t−EX²·t²/2+o(t²). Тогда Var X=2−4=−2, что невозможно.
Следовательно нужно исправить минимум два коэффициента. Вариант 1: 1+2it−2t²+o(t²), соответствующий X≡2. Вариант 2: 1+it−t²+o(t²), соответствующий N(1,1). Оба меняют константу и ещё один коэффициент.
При существовании разложения до второго порядка в данном контексте используется конечный второй момент; допустимая дисперсия неотрицательна.
Проверка результата
Для X≡2 функция e²ⁱᵗ имеет нужный ряд. Для N(1,1) функция exp(it−t²/2) даёт второй пример.
Типичная ошибка
Исправить только нормировку и не проверить совместимость первого и второго моментов.
Что даёт этот метод
Даже короткий ряд должен удовлетворять вероятностным ограничениям.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: условное ожидание по событию и обратимому преобразованию
- ВШЭ, КНАД: декабрьская контрольная 2024, полный разбор
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA11Q3. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.