Условие
X~N(4,10), Y~Bin(2,0,2), Z~Expo(3) независимы. Найдите характеристическую функцию S=2XY+3YZ+7.
Решение по шагам
Общий множитель Y связывает два произведения, поэтому отдельно перемножать функции 2XY и 3YZ нельзя. Условимся по Y=y. Тогда S=7+2yX+3yZ, и независимость X,Z даёт φS|y(t)=e⁷ⁱᵗ·exp(8iyt−20y²t²)·3/(3−3iyt).
Вероятности Y=0,1,2 равны 0,64;0,32;0,04. Поэтому φS(t)=e⁷ⁱᵗ[0,64+0,32 exp(8it−20t²)/(1−it)+0,04 exp(16it−80t²)/(1−2it)].
При Y=0 S=7: закон имеет атом массой 0,64, а остальные компоненты непрерывны. Как дополнительная проверка ES=7+2EX·EY+3EY·EZ=7+3,2+0,4=10,6.
Проверка результата
φS(0)=1. Производная в нуле равна i·10,6, согласуясь с прямым ожиданием.
Типичная ошибка
Использовать независимость слагаемых, которые содержат один и тот же Y.
Что даёт этот метод
Условие по общему дискретному фактору превращает зависимую сумму в конечную смесь.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: Box — Muller и плотность линейно преобразованной нормали
- МГУ: майская контрольная по вероятности, полный разбор 2025
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA11Q5. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.