Условие
U₁,U₂ независимы U(0,1). X₁=√(−2lnU₁)cos(2πU₂), X₂=√(−2lnU₁)sin(2πU₂). Докажите независимость стандартных нормалей. Для W₁=5X₁−2X₂,W₂=3X₁+9X₂ найдите плотность.
Решение по шагам
Радиус R имеет плотность re⁻ʳ²/², угол равномерен на [0,2π) и независим. Якобиан полярных координат r сокращается, давая совместную плотность (2π)⁻¹exp[−(x₁²+x₂²)/2]. Она факторизуется, значит X₁,X₂ независимы N(0,1).
Матрица преобразования A=[[5,−2],[3,9]], det A=51. Ковариация W равна AAᵀ=[[29,−3],[−3,90]], её определитель 2601. Обратная матрица C⁻¹=[[90,3],[3,29]]/2601.
Поэтому fW(w₁,w₂)=1/(102π)·exp[−(90w₁²+6w₁w₂+29w₂²)/5202] на всей плоскости. Компоненты W уже не независимы: ковариация −3.
Проверка результата
det C=(det A)²=2601>0; плотность нормируется благодаря обратимому преобразованию. Знак смешанного члена проверяется по C⁻¹.
Типичная ошибка
Забыть якобиан 1/|det A| или считать линейные комбинации независимыми автоматически.
Что даёт этот метод
В многомерной нормали ковариация преобразуется как ACAᵀ.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: характеристическая функция суммы произведений с общим Y
- ВШЭ, КНАД: декабрьская контрольная 2024, полный разбор
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA9Q2. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.