Условие
U~U(0,10), Y=min(U²,25). Найдите вероятность малого интервала, CDF, P(Y>10), EY,EY², P(Y>10|Y>5), EY|Y>5 и EY²|Y>5.
Решение по шагам
Для 0<y<25 FY(y)=√y/10, плотность f(y)=1/(20√y). В 25 есть атом P(U≥5)=1/2; FY(25)=1. Для фиксированного внутреннего y и Δ→0 P(Y∈[y,y+Δ])=Δ/(20√y)+o(Δ). У y=0 вероятность √Δ/10, а при y=25 она равна 1/2: обычная линейная формула там не работает.
P(Y>10)=1−√10/10. EY=(1/10)∫₀⁵u²du+25/2=50/3. EY²=(1/10)∫₀⁵u⁴du+625/2=375.
Условие Y>5 означает U>√5, поэтому d=1−√5/10. P(Y>10|Y>5)=(1−√10/10)/d. EY|Y>5=[50/3−√5/6]/d; EY²|Y>5=[375−√5/2]/d. Вычитанные части — интегралы u² и u⁴ по [0,√5].
Проверка результата
Интеграл плотности на (0,25) равен 1/2, оставшаяся половина — атом. Среднее меньше 25, второй момент меньше 625.
Типичная ошибка
Описывать весь закон только плотностью и потерять половину вероятности.
Что даёт этот метод
После ограничения сверху отдельно проверьте появление точечной массы.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: пуассоновский предел биномиального распределения
- ВШЭ, КНАД: декабрьская контрольная 2024, полный разбор
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_knad_probability_2024_2025, HA4Q3. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.