Условие
Характеристическая функция X равна cos³t. Найдите распределение, среднее и дисперсию.
Решение по шагам
cos t=(eⁱᵗ+e⁻ⁱᵗ)/2 — характеристическая функция симметричного знака ±1. Куб означает сумму трёх независимых таких знаков. Раскрывая выражение, получаем (e³ⁱᵗ+3eⁱᵗ+3e⁻ⁱᵗ+e⁻³ⁱᵗ)/8.
Следовательно X принимает −3,−1,1,3 с вероятностями 1/8,3/8,3/8,1/8. EX=0 по симметрии; Var X=3 как сумма трёх независимых дисперсий 1. Можно проверить напрямую EX²=(9+3+3+9)/8=3.
Это распределение 2B−3, где B~Bin(3,1/2), поэтому оно допускает простую генерацию без обращения характеристической функции интегралом.
Проверка результата
Все вероятности положительны и суммируются в 1; φ(0)=1, −φ″(0)=3.
Типичная ошибка
Путать cos³t с cos(3t): последнее дало бы только два значения ±3.
Что даёт этот метод
Выражение через экспоненты прямо показывает атомы дискретного закона.
Дальше по теме
Университетские задачи по вероятности.
Следующие разборы
- ВШЭ, вероятность: почему F(X) не всегда равномерна
- МГУ: полный разбор итогового варианта по вероятности, 2025
Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_pmi_probability_2024_2025, HA11Q4. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.