ВШЭ, вероятность: почему F(X) не всегда равномерна

Условие

X принимает 1,2,3,4 с вероятностями 0,1;0,2;0,3;0,4. Задайте FX, смысл площади над FX на [0,∞) и распределение Y=FX(X).

Решение по шагам

FX(x)=0 при x<1; 0,1 на [1,2); 0,3 на [2,3); 0,6 на [3,4); 1 при x≥4. В точках скачков функция непрерывна справа.

Площадь между графиком FX и уровнем 1 на положительной полуоси ∫₀∞(1−FX(x))dx равна EX=3. Прямой подсчёт: 1+0,9+0,7+0,4=3.

Y принимает 0,1;0,3;0,6;1 с вероятностями 0,1;0,2;0,3;0,4. Его FY(y)=0 до 0,1; 0,1 на [0,1;0,3); 0,3 на [0,3;0,6); 0,6 на [0,6;1); 1 от 1. Это дискретная величина, поэтому утверждение о равномерном FX(X) здесь неприменимо.

Проверка результата

У Y остаётся атом вероятности 0,4 в точке 1. Непрерывная равномерная величина такого атома не имеет.

Типичная ошибка

Применять преобразование распределения без предпосылки непрерывности.

Что даёт этот метод

Проверьте скачки CDF прежде, чем использовать правило F(X)~U(0,1).

Дальше по теме

Университетские задачи по вероятности.

Следующие разборы

Условие адаптировано из открытого источника: Борис Демешев, hse_knad_probability_2024_2025, HA4Q1. Решение, объяснение и проверка изложены редакцией damirock.com; это не официальный ключ преподавателя. CC0 1.0. Вёрстка и обозначения адаптированы; числовые предпосылки указаны в условии.