Условие
X равномерна на [2,8]. Найдите P(X≤5|X>4), E(X) и Var(X).
Решение по шагам
После условия X>4 остаётся интервал (4,8] длины 4. Подходящая часть (4,5] имеет длину 1. Постоянная плотность сокращается, поэтому условная вероятность равна 1/4.
Среднее равномерной величины — середина интервала: (2+8)/2=5. Дисперсия равна (8−2)²/12=3. Включение отдельных концов не меняет вероятности, поскольку их масса равна нулю.
Проверка результата
Через исходные вероятности: P(4<X≤5)=1/6, P(X>4)=4/6, их отношение 1/4. Интеграл (x−5)²/6 по [2,8] равен 3.
Типичная ошибка
Деление длины 1 на исходную длину 6 даёт безусловную, а не условную вероятность. Сначала нужно ограничить пространство наблюдением.
Что даёт этот метод
После условия попадания в подинтервал равномерная величина остаётся равномерной на нём. Для непостоянной плотности отношение длин не работает.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.