Условие
Число событий X имеет распределение Пуассона с параметром λ=3. Найдите P(X=0), P(X≤1), E(X) и Var(X).
Решение по шагам
Формула P(X=k)=e⁻λ λᵏ/k! даёт P(X=0)=e⁻³≈0,04979 и P(X=1)=3e⁻³. Складываем несовместные исходы: P(X≤1)=4e⁻³≈0,19915. Для распределения Пуассона среднее и дисперсия равны параметру: оба равны 3.
Параметр относится именно к рассматриваемому интервалу наблюдения. Если модель — однородный поток с интенсивностью r за единицу времени, для интервала t используют λ=rt.
Проверка результата
Сумма масс по всем k равна e⁻³Σ3ᵏ/k!=1. Вычисление первых двух масс даёт указанную вероятность, лежащую между 0 и 1.
Типичная ошибка
Среднее число 3 не означает, что каждое наблюдение содержит ровно три события. Одна частота также не доказывает применимость пуассоновской модели.
Что даёт этот метод
Модель полезна для случайного количества редких событий при подходящих предпосылках. Проверка этих предпосылок отделена от вычисления по заданному распределению.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.