Условие
Независимые попытки успешны с вероятностью p=1/5. T — номер первой успешной попытки, включая её. Найдите E(T) и P(T>3).
Решение по шагам
Событие T>3 означает три первые неудачи, поэтому его вероятность (4/5)³=64/125=0,512. Для ожидания используем хвостовую сумму: E(T)=Σₖ₌₀∞P(T>k)=Σₖ₌₀∞(4/5)ᵏ=5.
T принимает значения 1,2,…, поскольку успешная попытка считается. Если считать только число неудач до успеха, ожидание было бы на единицу меньше, то есть 4.
Проверка результата
Рекурсия ожидания даёт m=1+(4/5)m: одна попытка происходит всегда, а после неудачи задача начинается заново. Решение m=5 подтверждает хвостовую сумму.
Типичная ошибка
Вероятность ожидать дольше трёх — не вероятность успеха на четвёртой попытке. Последняя равна (4/5)³·(1/5).
Что даёт этот метод
Отсутствие памяти геометрического распределения следует из независимости попыток и постоянства p. Оно не применимо к процессу с обучением или истощением ресурса.
Дальше по теме
Теория вероятностей: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.